




























| Br weiterung der Quantenhypothese auf Systeme 
von mehreren Freiheitsgraden. Sommerfeld ging 
dabei in engem Anschluß an die Bohrsche Theo- 
Die erste Hauptforderung dieser Theo- 
je betraf die Auswahl der erlaubten Bahnen. 
ür sie mußte, wie wir sahen, das Impulsmoment 
_p gleich einem ganzen Vielfachen von pe sein. 
mech (17a) und (12) läßt sich das auch so aus- 
| "sprechen: Das Integral / p dq (wo für die allge- 
| meine Koordinate q der Drehungswinkel » ge- 
setzt ist) ist gleich einem ganzen Vielfachen von 
h, das heißt: 
fr dq=nh 
| Das linksstehende Integral nennt man, 
seines Zusammenhanges mit der 
' q, p-Ebene) das Phasenintegral: die Glei- 
chung (21). heißt - die Quantenbedingung. Im 
1 Falle der Bohrschen Theorie, die nur Kreisbahnen 
‚betrachtet, existiert natürlich nur eine solche 
_ Quantenbedingung (für q=P), da ja der Dre- 
_ hungswinkel @ die einzige Variable der Bahn dar- 
stellt. Anders dagegen liegt es, wenn man die 
Beschränkung auf Kreisbahnen fallen läßt, und 
auch Keplerellipsen in den Kreis der Betrach- 
t tung zieht. Dann ist jeder Punkt einer Bahn 
Sdurch 2 Variable bestimmt, nämlich durch die 
| Entfernung r des Blekirons vom Kern (der. sich 
im Brennpunkt der Ellipse befindet) und durch 
den Winkel , den r mit einer festen Richtüng 
bildet (etwa mit der Geraden, die den Kern mit 
| dem Perihel verbindet). In diesem Falle hat man 
‚ ein Problem von zwei Freiheitsgraden vor sich, 
| mit zwei allgemeinen Koordinaten r und @ (Po- 
larkoordinateny. Die einfache Erweiterung der 
~Quantenhypothese durch Sommerfeld besteht 
| nun darin, daß man. in diesem Fall zwei Quan- 
1% ineungen von der Form (21) aufstellt, eine 
5 ur die Koordinate gg — die mit sa einzigen 
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infolge 
Phasenebene 

¢ Qn j 
: FR { nund 2 of 
de=nh; drzn'h ganze .( 
rn Pr \ Zahlen 
pp und Pr sind dabei die Impulse, die zu den 
Koordinaten $ und r gehörent), die Integration 
» in dem zweiten Phasenintegral ist über den voll- 
| ständigen Wertbereich von r zu erstrecken, d. h. 
| vom kleinsten Wert von r (Perihel) bis zum 
größten (Aphel) und zum kleinsten zurück. 
41) Der Impuls p, der zu einer allgemeinen Koordi- 
ate q gehört, bestimmt sich bekanntlich in folgender 
Weise: Man bilde die Lagrangesche Funktion Z des 
_ Problems, die z. B..im Hamiltonschen Prinzip oder in 
den. Bewegungsgleichungen auftritt und stelle sie = 
dann Is DI. 
Og 

| als Funktion der g und der ER 
Reiche: Die Quantentheorie. 
1'225 
In ganz entsprechender Weise läßt sich natür- 
lich auch für mehr als zwei Freiheitsgrade die 
Erweiterung vornehmen. Hat das System f Frei- 
heitsgrade, ist es also durch f allgemeine Koordi- 
naten 9, de... g und die entsprechenden Im- 
pulse p, . pr ec so sind die er- 
laubten Bewegungen des Systems durch die f 
Quantenbedingungen eingeschrankt?) : 
Spann; Spdn=nn; TEE, 
foray argh 
Eine Schwierigkeit, die hier von vornherein 
auftauchte, war die Beantwortung der Frage, 
welche Koordinaten, man denn bei dem Quanten- 
ansatz (23) wählen solle, oder ob die Wahl gar 
gleichgültig sei. Im allgemeinen nämlich kann 
man ja ein System von mehreren Freiheitsgraden 
durch verschiedene Arten von Koordinaten cha- 
rakterisieren?). Epstein und Schwarzschild haben 
dies Problem gelöst, wobei sich eine interessante 
Beziehung der Quantenhypothese zu einem von 
Jacobi und Hamilton aufgestellten Theorem der 
klassischen Dynamik offenbarte. Schließlich hat 
in jüngster Zeit Hinstein durch Modifikation der 
Formulierung (23) einen Ansatz gegeben, der den 
Vorzug besitzt, von der Wahl der Koordinaten 
unabhängig zu sein. Indessen würde ein näheres 
Eingehen auf diese abstrakten Untersuchungen 
hier zu weit führen. 
Die zweite Formulierung der Quantenhypo- 
these, die sich in mancher Hinsicht von der 
Sommerfeldschen unterscheidet, rührt; wie er- 
wähnt, von Planck her. Sie ist in ihrer ganzen 
Anlage gleichsam vorsiehtiger gehalten, als der 
radikale Ansatz von Sommerfeld. Planck geht 
dabei, in direktem Anschluß an die oben be- 
sprochene Einteilung der Phasenebene des line- 
aren Oszillators, bei komplizierteren Systemen 
vom Gibbschen Phasenraum aus?) und verleiht 
ihm, ganz analog wie der Phasenebene, durch ge- 
wisse ausgezeichnete Grenzflächen eine zellen- 
artige Struktur. Dabei ist die Größe der Zellen 
bei einem System von f Freiheitsgraden propor- 
tionalh’. Die Schnittpunkte jener Grenzflächen 
stellen dann die quantenmäßig ausgezeichneten 
Zustände des Systems dar (also nach der ersten 
Planekschen Theorie die einzig möglichen, erlaub- 
ten Zustände). Im Gegensatz zu der Sommer- 
feldschen Theorie, in der die Bewegung eines 
Systems von f Freiheitsgraden stets durch f 
Quantenbedingungen . bestimmt ist, kann bei 
1) Die Integrale sind dabei über den vollständigen 
möglichen Wertbereich der betreffenden Koordinate zu 
erstrecken. 
2) So’kann man z. B. ‚die Keplerbewegung des 
Elektrons entweder durch Polarkoordinaten r und @ 
oder durch kartesische Koordinaten # und y be- 
schreiben. . 
3) d. h., -von demjenigen 2f-dimensionalen Raum, 
dessen Koordinaten die Größen @...., UY Pi... DP 
sind. Jeder Punkt dieses 2f-dimensionalen Raumes 
stellt also einen bestimmten Zustand des Systems dar. 
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