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unter p, den dem Radiusvektor r zugeordneten 
Impuls verstanden („Was dem @ recht ist, ist 
dem r billig!“). Beide Integrale sind über sämt- 
liche Punkte der Bahn, also über eine Periode 
der Bewegung zu erstrecken. 
Allgemeiner, wenn ein System durch f Lagen- 
koordinaten qı, 92... ., qr und f ihnen zugeord- 
nete Impulse m1, p2 .. ., pp bestimmt wird, muß 
man nach Sommerfeld f Bedingungen von der 
Form 
Jr Og Ne hi A D8) SE 2 
ansetzen. Da p; und dq; stets das gleiche Vor- 
zeichen haben, so folgt aus dieser Definition, daß 
die n; stets positive ganze Zahlen sind. 
Das Resultat, welches die Bedingungen (24), 
(241) für die Halbachsen der statischen Kepler- 
ellipsen ergeben, besteht in Folgendem: 
2 
h n 
=i 2, b=a——- .(@ 
a dntmeawtn”: b nares . (26 
Bei gegebener Summe der Quantenzahlen 
ntn' ist also a konstant, b veränderlich, und 
zwar ist das Verhältnis b/a ein echter Bruch mit 

n+n=2 n+n'-:3 n»n'-% 
Fig. 5a, b, e. 
vf FH 
8; 
>) 8 
SSX I 
Fig. 6a, b; ce. 
dem Nenner n+n’. Für die Werte der Quan- 
tensumme ntn=2, 3, 4 sind die möglichen 
Ellipsen in der Fig. 5 dargestellt. Dabei ist die- 
jenige Bahn, welche in eine doppelt durchlaufene - 
gerade Linie ausartet (b=o, n=o), punktiert 
angedeutet, denn in einer. solchen Bahn müßte 
das Elektron mit dem Kern zusammenstoßen, und 
man kann 'sie daher als unmöglich ansehen, Des- 
halb ist die Zahl der wirklich zustandekommen- 
den Bahnen in jedem Falle gleich n+n. Es 
ist zu bemerken, daß die Ellipsen zum Kern in 
Wirklichkeit konfokal’ angeordnet sind (Fig. 6) 
und nicht konzentrisch, wie sie der Übersichtlich- 
keit wegen in der Fig. 5 eingezeichnet sind. 
Der Zweck von Sommerfeld war also insofern 
erreicht, als er eine wesentlich größere Zahl von 
statischen Bahnen erhielt. Trotzdem war das 
Resultat zunächst eine’ Enttäuschung, denn die 
Vermehrung der Bahnen war von keiner Vermeh- 
rung der Energiestufen begleitet. Die Energie 
‚der Keplerellipse ist nämlich eine Funktion der 
großen Achse allein, also für sämtliche Bahnen 
Epstein: Anwendungen der Quantenlehre in der Theorie der Serienspektren. [ 




































Die Nat 
wissenschaft 
einer jeden unserer Figuren (5a, b, c) die gleich 
Sie drückt sich durch die Formel aus: 
ie 2 x? x? uw et 
Tin Em 
welche bei ganzzahligen n und n’ genau dieselben 
diskreten Werte ergibt, wie der Bohrsche Aus-™ 
druck A= — 22? x2u et/h? n?. 4 1 
Sommerfeld erhielt also dieselbe einfache 
Linienserie, die in Formel (17) enthalten ist, 
aber jede Linie entsteht bei ihm auf mehrfache” 
Weise, aus mehreren verschiedenen Paaren sta- | 
tischer Bahnen. Sie enthält, sozusagen, mehrere 
zusammenfallende Freiheitsgrade. Erst durch Be- | 
riicksichtigung der Veränderlichkeit der Masse | 
des Elektrons als Funktion der Geschwindigkeit, 
wie sie die Relativitätstheorie fordert, ist es 
Sommerfeld gelungen, diese latenten Freiheits- 
grade auseinander zu ziehen (§ 13) und eine glän- | 
zende Übereinstimmung mit der Erfahrung zu er- | 
zielen. ? 1 
§ 12. Bedingt periodische Bewegungen. — In 
der Fassung der Quantenansätze, wie sie im letz- 
ten Paragraphen nach Sommerfeld gegeben wurde, 
blieben indessen noch einige Fragen offen. Schon 
bei periodischen Bewegungen, bei denen die In- 
tegration offenbar über eine Periode auszudehnen 
ist, war es nicht klar, welches von den vielen ver- 
schiedenen Koordinatensystemen, durch die man 
die Bewegung beschreiben kann, zu wählen ist. 
Bei nicht periodischen waren selbst die Grenzen 
der Integration unbekannt. Es bedeutete daher 
einen Fortschritt, als unabhängig Schwarzschild 
und der Verfasser (1916) den Begriff der ,,be- 
dingt periodischen Bewegungen“ aus der Him- 
melsmechanik in die Atomistik übernahmen und’ 
für diese erweiterte Klasse von mechanischen 
Systemen die Sommerfeldschen Quantenansätze 
nach Wahl der Koordinaten und Integrations- 
grenzen präzisierten. 
Als „bedingt periodisch“ bezeichnet man 
mechanische Systeme, zu deren Bestimmung man’ 
die Koordinaten so auswählen kann, daß dieselben ) 
zwischen zwei festen Grenzen monoton hin- und | 
herschwanken, oder, wie man sagt, Librationen 
ausführen. Das einfachste Beispiel einer solchen 
Bewegung ist die Überlagerung von zueinander 
senkrechten Sinusschwingungen: “a 
= @sin(@zt+5.,), y= yosin(o,¢+8,), 
Wo Xo, Yo, ® und 5 Konstanten bedeuten. Man 
sieht sofort, daß x im Laufe der Zeit ¢ immer 
die Werte von — 2 bis + 2 (Librationsgrenzen) 
vorwärts und rückwärts durchläuft, ebenso 9 
diejenigen zwischen — yo und + y. Sind die 
Frequenzen ©, und ®, inkommensurabel, so 
kommt die Bahnkurve (Fig. 7) jedem Punkte des S | 
zwischen den Librationsgrenzen eingeschlossenen 
Rechtecks beliebig nahe, oder, um einen mathe- 
matischen Ausdruck zu gebrauchen, sie erfüllt 
das Rechteck überall dicht. 
Ein anderes Beispiel bietet der für die Som- — 
merfeldsche Theorie wichtige Fall der relativisti- 
schen Keplerellipse. ‚Wir haben bereits erwähnt, — 

ie 
a a 
