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Der Wiirfel prallt ab, steigt empor und wiederholt 
diese Bewegungen mehrmals mit abnehmender 
Amplitude und unter Annahme scheinbar un- 
regelmäßiger Rotationsbewegungen, bis er auf 
irgend einer seiner sechs Seiten liegen bleibt. 
Auf welche er schließlich zu liegen kommt, muß 
natürlich von der Art der anfänglichen Ab- 
weichung aus der axial-lotrechten Stellung ab- 
hängen, aber die Funktion y—f(r,®), welche 
diese Abhängigkeit ausdrückt, wird so beschaffen 
sein, daß bei kontinuierlicher Variation der zwei 
die Anfangslage definierenden Variabeln r, © in 
äußerst raschem Wechsel Gebiete durchschritten 
werden, welche allen möglichen Endlagen ent- 
sprechen, derart, daß bereits innerhalb eines 
äußerst kleinen Variabilitätsbereiches V der 
Achsenstellung (in bezug auf die Lotrechte) die 
den Zahlen 1—6 zugehörigen Bereiche ungefähr 
flächengleich werden. Die Größe V könnte man 
vielleicht mit‘ dem Namen Ausgleichsgebiet be- 
legen. 
Würde man nun versuchen, den Würfel vor 
dem Fallenlassen durch menschliche Hilfsmittel 
in irgend einer Weise zu orientieren; so ist klar, 
daß dabei gewisse Einstellungsfehler trotz größter 
Sorgfalt unvermeidlich sind. Den Bereich dieser 
unvermeidlichen Fehler wollen wir als Schwan- 
kungsbereich @& bezeichnen, und man darf wohl 
annehmen, daß die Verteilungsfunktion @(r, ®), 
welche die relative Häufigkeit jener Fehler bei 
unzähliger Wiederholung der Versuche darstellt, 
einen regelmäßigen „analytischen“ Charakter be- 
sitze. Ist daher das durch die Art der zwangs- 
läufigen Funktion f(r, 8) bestimmte Ausgleichs- 
gebiet V klein im Vergleich zum individuellen 
Schwankungsbereich ®, so ist leicht einzusehen, 
daß schließlich für alle Zahlen 1—6 eine gleiche 
Wahrscheinlichkeit resultieren muß, unabhängig 
von der speziellen Art der beabsichtigten Ein- 
stellung und von der individuellen Variations- 
funktion @(r, 9). Das Einzelereignis ist also 
nicht vorauszusehen, wohl aber die Gesamtvertei- 
lung der Ereignisse bei fortgesetzter Wieder- 
holung. In einem solchen Falle waltet der Zufall 
in gesetzmäßiger Weise. 
Einfacher als der obige Fall ist das Beispiel 
der Roulette, an welchem Poincaré) analoge Be- 
trachtungen anstellt, oder das Beispiel der einem 
Schützen als Ziel dienenden rotierenden Sek- 
torenscheibe. Ob derselbe einen schwarzen oder 
weißen Sektor treffen wird, hängt vom Zeitpunkt 
ab, wann das (feststehende) Gewehr abgedrückt 
wird. Man kann aber immer die Scheibe in so 
rasche Rotation versetzen, daß die Treffsicher- 
heit des Schützen ausgeschaltet wird. Mag er 
sich in einem beliebigen Moment entschließen, 
loszudrücken, jedenfalls vergeht vom Entschluß 
bis zur Tat noch eine unbestimmte, in gewissen 
Grenzen variable Zeit, so daß die Wahrscheinlich- 
keit, daß der Schuß gerade zur Zeit ¢ losgeht, 
1) Poincaré, loe,. cit. 
Smoluchowski: Begriff d. Zufalls u. d. Ursprung d. Wahrscheinlichkeitsgesetze usw. Bee: = 
= 
Die Natur- 
p(t) dargestellt wird, von der anzunehmen ist, daß 
sie keine singulären Eigenschaften, wie Unstetig- 
keiten, außerordentlich viele Maxima und Mini 
und dergl., aufweist, deren Form aber sons . 
gleichgiiltig ist. 
Entfallen also auf den Schwankungsbereich t+ 
der Zeit geniigend viele Rotationen der Scheibe, 
so verschwindet der Einfluß der individuellen 
Form der Verteilungsfunktion @(t), die Wahr- 
scheinlichkeit, einen weißen oder schwarzen Sek- 
tor zu treffen, hängt dann nur vom relativen 
Flächeninhalt derselben ab. Man pflegt dann von 
jener Wahrscheinlichkeit schlechthin zu reden, 
ohne Rücksicht auf die Funktion 9, aber still- 
schweigend macht man doch betreffs @ die vorher 
erwähnten Annahmen. Jene Wahrscheinlich- 
keitsüberlegung würde beispielsweise ganz gegen- 
standslos werden, falls das Gewehr mit der Sek- 
torenscheibe mittels eines elektrischen Kontaktes 
in passender Weise verbunden wäre. 
In letzter Linie basiert die ganze Argumenta- 
tion offenbar auf der Tatsache, daß jede (diffe- 
renzierbare) Funktion sich im Bereich genügend 
‘durch eine (im Schwankungsbereich von £ bis — 
tt von Null merklich verschiedene) Funktion 
kleiner Veränderungen der unabhängigen Vari-. 
abeln angenähert proportional mit denselben 
ändert, und sie läßt sich durch eine einfache geo- 
metrische Analogie illustrieren: wenn man auf 
Papier, das in schmale, gleichbreite, alternierend 
weiße und schwarze Flächenstreifen zerlegt ist, 
aus freier Hand eine beliebige (aber nicht zu — 
kleine und nicht zu unregelmäßige!) geschlossene 
Kurve zieht, *so wird der von derselben ausge- — 
schnittene „weiße“ und „schwarze“ Flächeninhalt — 
sehr nahe gleich groß sein, ohne Rücksicht auf 
die Art jener Kurve. Letztere entspricht dem, 
was wir individuellen Schwankungsbereich ge- 
nannt haben, während die Zerlegung des Papiers 
in Flächenstreifen durch die Art der zwangs- 
läufigen Kausalrelation y— f(x) bestimmt ist. 
Somit sehen wir, wie für die Wirkung des 
Zufalls ein bestimmtes Gesetz resultieren kann, 
ohne Rücksicht auf die spezielle Form jener un-- 
bekannten, primären Verteilungsfunktion ®, wo- 
mit der erste der im II. Abschnitte hervorge- 
hobenen Widersprüche seine Aufklärung findet. 
Allerdings muß man zugestehen, daß unsere Über- 
legungen das eigentliche Wesen des Zufalls noch 
nicht erschöpfend darstellen, denn sie beruhen ja 
auf der Annahme einer Verteilungsfunktion ® 
für die zufälligen Schwankungen der Ursache, 
von der überdies eine gewisse Eigenschaft (ein 
„regelmäßiger Verlauf“) vorausgesetzt wird. Die- 
ser Umstand findet seinen Ausdruck in einer —_ 
übrigens ganz zutreffenden Aussage, mit welche a 
sich Mathematiker!) über diese Fragen hinwegzu- 
setzen lieben: Aufgabe der Wahrscheinlichkeits- 
rechnung ist nicht Erklärung der Wahrschein- 
lichkeit eines Ereignisses, sondern die Ermitte- 
1) Siehe z. B. E. Borel, Le Hasard, Paris, Alcan, 
1914, S. 15. h 
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