


inal Smoluchowski: Begriff d.Zufalls u. d. Ursprung d. Wahrscheinlichkeitsgesetze usw 257 
lung derselben auf Grundlage einer anderen Wahr- Natürlich ist dabei umgekehrt ein jeder 
scheinlichkeit, nämlich der als bekannt ange- 
nommenen Wahrscheinlichkeit eines einfacheren, 
„dasselbe verursachenden (oder dadurch bewirk- 
ten) Vorganges. 
Eye 
Fassen wir das bisher Gesagte in verallge- 
meinerter Form zusammen: 
Man nennt Zufall eine spezielle Art von Kan. 
salrelationen. Man sagt nämlich gewöhnlich, 
daß ein Ereignis y vom Zufall abhängt, wenn es 
eine solche Funktion einer veränderlichen (eventl. 
auch ihrem Werte nach unbekannten oder ab- 
sichtlich ignorierten) Ursache oder Teilbedin- 
gung x ist, daB sein Eintreten oder Nichteintreten 
von einer sehr kleinen Änderung des x abhängt 
(‚„klein“ im Verhältnis zum Schwankungsbereich 
des x). 
Dieser populäre Zufallsbegriff eignet sich je; 
doch nicht als Grundlage eines exakt definier- 
baren Wahrscheinlichkeitsbegriffess. Von einem 
die Größe y betreffenden mathematischen Wahr- 
scheinlichkeitsgesetz W (y) kann man erst dann 
sprechen, wenn die Kausalrelation y —f (x) außer 
der erwähnten Eigenschaft noch eine spe- 
zielle besitzt: nämlich wenn die Verteilung 
der y, wenigstens innerhalb gewisser Grenzen, 
unabhängig ist von der Art der Verteilungsfunk- 
tion @ (x), welche die relative Häufigkeit der x 
bestimmt (vorausgesetzt, daß die Funktion (x) 
einen „regelmäßigen“ Verlauf habe). 
Eine hierzu hinreichende mathematische Be- 
dingung läßt sich für den Fall einer einzigen un- 
abhängigen Variabeln leicht aufstellen, wenn man 
die früher dargelegten Beispiele ins Auge faBt. 
Es genügt nämlich, daß die Funktion y = f(x) 
einen derartigen ,,oszillierenden“ Charakter habe, 
daß: 
1. für jeden z,-Wert in dem Schwan- 
kungsbereich @ ein solches, im Ver- 
haltnis zu 2 äußerst kleines Ax angeb- 
bar ist, daß die Funktion y—f (x) = 
f(zo +2Ax) sämtliche y-Werte (innerhalb 
gewisser Grenzen) durchläuft, sobald die 
Variable e die Werte von O bis 1 durch- 
läuft; 
2. daß der Bruchteil des e-Gebietes, welcher 
einem gewissen Gebiet von y-Werten ent- 
spricht, für alle innerhalb 2 gelegenen 2-: 
Punkte (annähernd) gleich groß ist. 
Für jedes x gibt es also einen kleinsten Be- 
reich Az, welchem eine Variation über alle 
‘Werte y entspricht, und die Größe desselben de- 
finiert gewissermafen die Struktur der Kausal- 
‘funktion f(x); je ,,feinkérniger“ dieselbe ist, 
d. h. je kleiner jene Ax sind, desto geringer sind 
die Anforderungen, welche man betreffs der „Re- 
gelmäßiekeit“ der primären Verteilungsfunk- 
tion (x) stellen muß, um ein von der Art der- 
selben unabhängiges Resultat für die Vertei- 
lung W(y) zu erhalten. 
Nw. 1918. + 
y-Wert durch eine Menge verschiedener x reali- 
sierbar, d. h. die inverse Funktion ist in hohem 
Grade vieldeutig: die gleiche Wirkung kann durch 
sehr verschiedene ursächliche Konstellationen 
hervorgebracht werden — ebenfalls ein sehr cha- 
rakteristischer Zug jener Kausalrelationen, 
welche die Entstehung von Wahrscheinlichkeits- 
gesetzen veranlassen. 
Spezielle Beispiele derartiger funktionaler Zu- 
sammenhänge sind leicht zu geben, z. B.: 
y = sin (2) Setzen wir voraus, daß a äußerst 
klein ist im Vergleich zum Schwankungsbereich 
» j n 
der „Ursache“ x, so wird auch Ar=T sehr 
klein, und es resultiert für die „Wirkung“ y eine 
von der Wahrscheinlichkeit der x weitgehend un- 
abhängige Häufigkeitsverteilung: 
93 1 
Wiy)dy=— yee 2. y: 
Noch einfacher ist der früher A Fall 
der rotierenden Scheibe. Hierbei nehmen wir 
als x die Zeit ¢ an, zu welcher der Schuß losgeht, 
als y die Winkeldistanz 9 des Treffpunktes in der 
Scheibenebene (von einem bestimmten Radius 
derselben ab gerechnet). Es ist also: 9 = ct —2nn, 
wobei die Winkelgeschwindigkeit c eine sehr 
große Zahl sein soll und n immer so gewählt 
wird, daß 9 zwischen 0 und 2x gelegen sei. Der 
Bereich Ax ist offenbar auch in diesem Falle 
2 5 
gleich Aw = ss und es werden alle Winkel 0 
gleich wahrscheinlich sein, wenn diese Größe klein 
ist im Vergleich mit dem Schwankungsbereich . 
der Ursache. 
Es gibt jedoch außerdem noch zahlreiche der 
mathematischen Analyse nicht so leicht zugäng- 
liche Fälle, in denen rein physikalische Vorrich- 
tungen die Unabhängigkeit des resultierenden 
Wabrscheinlichkeitsgesetzes von der ‚Art und 
Ursache der primären Schwankungen mit belie- 
biger Annäherung hervorbringen. Als typische 
derartige Fälle seien nachstehende Beispiele etwas 
eingehender besprochen: 
I. Das Galtonsche Brett. Es besteht aus 
einem geneigt aufgestellten Brett, in welches eine 
große Anzahl von Stiften, in regelmäßigen Hori- 
zontalreihen angeordnet, eingeschlagen wurden, 
und zwar ist die Anordnung derselben eine alter- 
nierende, so daß die Stifte jeder Reihe den Öff- 
nungen der beiden benachbarten Reihen ent- 
sprechen. Werden nun von einem gegebenen 
Punkt aus Kugeln von passender Größe (so daß 
ihr Durchmesser wenig kleiner sei als der freie 
Abstand zwischen zwei benachbarten Stiften) über 
das Brett rollen gelassen, so werden sie infolge 
der Zusammenstöße mit jenen Stiften aus ihrer 
Bahn in unregelmäßiger Weise abgelenkt und 
sammeln sich schließlich nach Passierung sämt- 
licher Stiftreihen in den am unteren Brettrande 
41 
