258 
angebrachten Behältern an, so daß die Höhe, zu 
der sie in denselben reichen, direkt als Maß der 
Wahrscheinlichkeit der betreffenden Lage dienen 
kann. 
Es zeigt sich, daß sie sich daselbst gemäß dem 
Gaußschen Fehlergesetz: y= Ae~“* anordnen, 
so daß die meisten sich in der Fallinie des Aus- 
gangspunktes ansammeln, während ihre Zahl nach 
beiden Seiten zu nach Maßgabe der bekannten 
Glockenkurve abnimmt. Dieses Resultat ist 
mathematisch leicht erklärlich, sobald man an- 
nimmt, ‘daß eine jede Kugel nach dem Austritt 
aus der Öffnung zwischen zwei Stiften gleiche 
Wahrscheinlichkeit dafür bietet, daß sie die 
nächste Stiftreihe zur Rechten oder zur Linken 
des darunterstehenden Stiftes passieren werde. 
Erfolet nämlich dieser Vorgang ganz zu- 
fallig, mit gleicher Wahrscheinlichkeit für rechts 
und links, so läßt sich die Wahrscheinlichkeit, 
daß die Kugel beim Passieren der mten Stift- 
reihe eine dem n-fachen Nagelabstand gleiche 
seitliche Entfernung aus der Mittellinie besitze, 
nach dem bekannten Bernoullischen Satze zu 
m ! 
at 
wo=|g) m jm 
2 Ip n) » (= + n) ! 
bestimmen, was für große Werte der Zahl m an- 
genähert in die vorerwähnte Formel übergeht. 
Es wird also die komplizierte Gesamterscheinung 
auf einfache Elementarvorgänge zurückgeführt, 
aber es bleibt noch aufzuklären, wieso letztere als 
ganz zufällig angesehen werden können, obwohl 
eigentlich die Anfangslage und Anfangsgeschwin- 
digkeit der Kugel die weitere Bewegung derselben 
eindeutig bestimmen sollte. 
Um unkontrollierbare Nebenumstände mög- 
lichst auszuschalten, idealisieren wir das Beispiel 
durch Voraussetzung vollständiger Glattheit der 
schiefen Ebene, exakter Anordnung der Stifte, 
exakter Kugelgestalt der Kügelchen und nehmen 
wir ferner an, der Kugeldurchmesser sei fast ge- 
nau gleich dem freien Abstand der Stifte, und 
die Stöße der Kugeln an letzteren mögen un- 
elastisch verlaufen. Offenbar ist dann die nach 
Austritt der Kugel zwischen zwei Stiften spuren- 
weise übrig bleibende Horizontalkomponente der 
Geschwindigkeit allein maßgebend dafür, ob der 
nächste Stift auf der rechten oder linken Seite 
getroffen wird, ob also die Kugel denselben auf - 
der einen oder anderen Seite passieren wird. 
Jene Horizontalkomponente ist aber das Resultat 
vielfacher Reflexionen der Kugel zwischen jenen 
zwei Stiften und ist durch die Lage der Zentri- 
‘ linie beim ersten Stoß zu der betreffenden Stift- 
reihe eindeutig bestimmt. Eine ganz minimale 
Lagenänderung dieser Zentrilinie genügt, um zu 
bewirken, daß die Richtung jener Horizontalkom- 
ponente umgekehrt wird; bei weiterer äußerst ge- 
ringer Lagenänderung wird dieselbe wieder um- 
gekehrt usw. 
Wir erkennen im Obigen die wesentlichen 
Smoluchowski: Begriff d. Zufalls u. d. Ursprung d. Wahrscheinlichkeitsgesetze usw. [ 
Die Natur- 
wissenschaften 
Züge des „geregelten“ Zufalls: 1. „Kleine Ur- 
sache — große Wirkung“; 2. den oszillierenden 
Charakter der Kausalrelation, welcher sich unge- 
nau, aber bezeichnend auch durch die Worte 
ausdrücken läßt „Verschiedene Ursachen — 
gleiche Wirkungen“; 3. die annähernd gleich- 
mäßige Verteilung der Chancen der Elementar- 
ereignisse. Im Grenzfalle, wenn der Kugeldurch- 
messer genau gleich dem freien Abstand der Stifte 
ist, verliert die Funktion, welche den Zusam- 
menhang zwischen Anfangskonstellation und 
Endlage der Kugel darstellt, den analytischen | 
Charakter. Die Chancen für eine positive und 
negative Verschiebung werden bei jedem Stoß 
genau gleich groß, und es wird sich die Gaußsche 
Glockenkurve herstellen, ganz unabhängig davon, 
wie klein auch die Schwankung der Anfangskon- 
stellation der, Kugeln sei (vorausgesetzt, sie ist | 
nicht genau elöich Null). Wir erhalten een Mo- | 
dell eines sozusagen ideal zufälligen Vorganges. | 
Dieser Vorgang bildet, nebstbei bemerkt, eine 
treffliche Illustration einer ganzen Klasse physi- 
kalischer Erscheinungen, welche wir im allge- 
meinen als Diffusion und Wärmeleitung zu be- 
zeichnen pflegen. Ohne an dieser Stelle in Ein- 
zelheiten einzugehen, erwähnen wir beispielsweise, 
daß die seitlichen Verschiebungen, welche die 
Kugel beim Hindurchrollen durch die aufein- 
anderfolgenden Stiftreihen erfährt, genau mit 
den der sogen. Brownschen Molekularbewegung 
entsprechenden Verschiebungen übereinstimmen. 
Und würden wir diese Versuche dadurch modi- 
fizieren, daß wir ein „begrenztes Galtonsches 
Brett“ verwenden, dessen Seitenausdehnung durch 
zwei in der Fallinie verlaufende Leisten begrenzt 
ist, und daß wir aus allen Öffnungen der obersten 4 
Stiftreihe auf der rechten Hälfte des Brettes t 
schwarze, auf der linken Hälfte weiße Kugeln 
austreten lassen, so würde deren allmähliche Ver- 
mischung beim Passieren der Stiftreihen genau 
der Diffusion zweier Gase in den bekannten Ver- 
suchen Loschmidts entsprechen. Besitzt das „be- 
grenzte Galtonsche Brett“ eine hinreichende 
Lange, so muß eine homogene Endverteilung re- 
sultieren. 
IJ. Ein in mathematischer Hinsicht kompli- 
zierteres, aber physikalisch noch einfacheres Bei- 
spiel ist das folgende: Denken wir uns ein un- 
regelmäßig, aber im übrigen beliebig geformtes — | 
Gefäß mit vollkommen reflektierenden Wänden, 
in welches wir durch ein sehr kleines, in einer 
Wand angebrachtes Loch ein elastisches Kügel- — | 
chen (am besten ein Gasmolekül) hineinschleu- 
dern, und überlegen wir, wann das Kügelchen 
wieder durch jenes Loch aus dem Gefäß austrete | 
diirfte Sofern die Öffnung im Verhältnis zu 
ganzen Wandfläche genügend klein ist, wird de 
Kugel im allgemeinen infolge der vielfachen Re- — 
flexionen einen äußerst komplizierten Zickzackweg 
zurücklegen müssen, bis sie die Austrittsstelle 
erreicht, und es ist klar, daß eine ganz minimale __ 
Änderung der Anfangsriehtung noch längere Zeit 










“ 
2 
| 
| 
=| 






