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24 1918 
„eine sehr erhebliche Änderung der Bahn und da- 
mit auch eine bedeutende Änderung der Austritts- 
zeit hervorrufen muß. Ebenso begreift man, daß 
dieselbe Austrittszeit mittels sehr verschiedener 
| Anfangskonstellationen zu erreichen ist — man 
braucht hierzu nur verschiedene Austrittsbahnen 
rückwärts zu verfolgen. Es scheint also die Mög- 
lichkeit einer Wahrscheinlichkeitsberechnung ge- 
geben zu sein. 
Allerdings ist eine exakte Berd eer sete Ana- 
lyse wohl noch nicht durchgeführt worden, aber 
physikalische Uberlegungen aus dem Gebiete der 
kinetischen Gastheorie, wie’ auch der Strahlungs- 
theorie, wo dasselbe Problem in anderer Form zur 
Sprache kommt, machen es plausibel, daß bei 
ganz beliebiger Verteilung der Anfangsrichtungen 
im Laufe der Zeit eine Ausgleichung der Wahr- 
scheinlichkeit stattfindet, so zwar, daß dann jedes 
Volumelement jenes Hohlraumes für die Kugel 
einen gleich wahrscheinlichen Aufenthaltsort 
bildet, daß sie sich in irgend einer Richtung gleieh 
wahrscheinlich bewegt und daß sie durchschnitt- 
lich auf jedes Flächenelement der Gefäßwand 
gleich häufig auftrifft. 
Wird die Geschwindigkeit der Kugel mit c, 
das Volumen des Gefäßes mit’ V, und der Quer- 
schnitt der freien Öffnung mit ® bezeichnet, so 
läßt sich nach Analogie mit gastheoretischen 
Rechnungen leicht nachweisen, daß die Wahr- 
scheinlichkeit dafür, daß der Austritt der Kugel 
während des Zeitraumes t erfolge, beträgt: 
Oct 
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also ist die durchschnittlich bis zum Austritt der 
Kugel aus dem Gefäß verfheßende Zeit: 
Ae ais 
.® Ca 
ın noch weit höherem Grad kommen übrigens 
die charakteristischen Züge des (geregelten) Zu- 
falls zur Geltung, wenn es sich um die Bewegung 
einer Schar von Kugeln handelt, welche in ein 
geschlossenes Gefäß eingesetzt werden, da dann 
die gegenseitigen Zusammenstöße derselben vor 
allem die Wirkung haben, den ursprünglich vor- 
handenen Bewegungszustand in unregelmäßiger 
Weise zu stören. 
Es ist das ein Spezialfall der von Boltzmann 
als allgemeine Eigenschaft molekularer Systeme 
erkannten Tendenz zur molekularen Unordnung, 
die kinetische Erklärung des 
Entropiesatzes beruht. 
Vv. 
Die Uberlegungen, durch die wir im Ab- 
-schnitt III und IV das Wesen des Zufalls zu 
charakterisieren und die Gesetzmäßigkeit seiner 
Wirkungen zu erklären suchten, scheinen 
mir, wie bereits vorher angedeutet wurde, in 
zweifacher Hinsicht nicht ganz befriedigend zu 
sein: 
al. Bs er angenommen, daß die „Ursache“ x 
ein Wahrscheinlichkeitsgesetz (x) befolgt, 
Smghichowakd: Begriffd. Zufalls u.d. Ursprung d. AWairacholaietichiteeosoize usw. 
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also wurde dieser Begriff als etwas Pri- 
mires vorausgesetzt. Gegenstand der Er- 
klärung war nur die Unveränderlichkeit 
des Wahrscheinlichkeitsgesetzes für die 
resultierende Wirkung. 
2. Es wurden gewisse Eigenschaften der 
Funktion @(z) vorausgesetzt, welche wir 
als „Regelmäßigkeit“ bezeichnet haben. 
Diese zwei Bemerkungen machen uns vor allem 
auf einen mehr formalen Mangel unserer Dar- 
stellung aufmerksam. Was bedeutet es nämlich, 
wenn wir sagen, daß die Wahrscheinlichkeit des 
Eintretens des x (Handbewegung beim Ingang- 
setzen der Roulette, Orientierung des fallenge- 
lassenen Würfels, der Kugel auf dem Galtonschen 
Brett) durch eine regelmäßige Verteilungsfunk- 
tion (x) bestimmt ist? Handelt es sich um 
ein x, welches wir nicht auf noch frühere Ur- 
sachen zurückführen können, so wäre das Gesetz 
(a) nur empirisch erkennbar. Unmittelbar ge- 
geben sind aber nur diskrete Einzelfälle, und erst 
durch Abstraktion auf Grund unzählig vieler Spe- 
zialfälle kommt man dazu, auf deren Grund die 
Häufigkeitsfunktion (ar) zu formulieren, von 
welcher die Eigenschaft (2) vorausgesetzt wird. 
Es wäre also weit rationeller, den Umweg über 
die abstrakte Verteilungsfunktion @ (x) zu ver- 
meiden und direkt nur eine gewisse Menge von 
Winzelfallen in Betracht zu ziehen. Versuchen wir 
also anstatt der hervorgehobenen Stelle des IV. Ab- 
schnittes folgenden Satz zu setzen: Von einer 
mathematischen Wahrscheinlichkeit kann nur 
dann die Rede sein, falls die den kausalen Zu- 
sammenhang zwischen zufälligert) Ursache x und 
Wirkung y darstellende Funktion y—f(x) der- 
art beschaffen ist, daß einer beliebig verteilten 
Menge von x-Werten immer annähernd eine und 
dieselbe Verteilung der zugehörigen y-Werte ent- 
spricht. Dabei soll das Wörtchen ‚annähernd“ 
ausdrücken, daß exakte Identität der y-Vertei- 
lungen nur bei unendlich zahlreichen Einzelfällen 
(Mengen) zu erwarten ist. 
Am klarsten übersieht man diese Verhältnisse 
bei der rotierenden Scheibe: im allgemeinen wird 
dieselbe von den Treffpunkten ungefähr gleich- 
förmig überdeckt sein, falls eine genügende An- 
zahl von Schüssen in beliebigen Zeitintervallen 
abgegeben wird, und die Verteilung der Treffer- 
diehte auf der Scheibe wird verhältnismäßig desto 
gleichförmiger sein, je gréBer die Anzahl der 
Schüsse. Nun sind aber offenbar auch ganz ab- 
weichende Ergebnisse möglich. Wären z. B. alle 
Zeitintervalle gleich und mil der Umlaufszeit der 
Scheibe kommensurabel, so würden sich alle 
Treffpunkte auf gewisse Stellen konzentrieren, 
während der Rest der Scheibe leer bleiben würde. 
Das wäre ein entscheidender Einwand gegen die 
Anwendbarkeit der in Rede stehenden Formulie- 
rung unseres Satzes, wenn uns nicht die Er- 
wigung zu Hilfe käme, daß derlei abweichende 
* 4) „Zufällig“ 
in dem vorher definierten Sinne. 
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