260 Smoluchowski: Begriff d. Zufalls u. d. Ursprung d. Wahrscheinlichkeitsgesetze-usw. en Den £ 
Anordnungen nur gewisse „singuläre“ Aus- ist, daß sich ein irrationales Verhältnis der 
nahmefälle bilden, deren Häufigkeit im Verhält- 
nis zu allen möglichen Anordnungen offenbar 
verschwindend klein ist. In der Mengenlehre be- 
"weist man bekanntlich, daß es — populär aus- 
gedrückt — unendlichmal so viele irrationale 
Zahlen gibt als ganze Zahlen, und in analoger 
Weise sieht man ein, daß unter allen möglichen 
Intervallängen diejenigen, welche mit der vor- 
gegebenen Umlaufszeit kommensurabel sind, nur 
einen unendlich kleinen Bruchteil bilden. Wer- 
den also aufs Geratewohl verschiedene Interval- 
längen gewählt, so ist es unendlich wenig wahr- 
scheinlich, daß man gerade solche treffen werde, 
welche mit der vorgegebenen exakt kommensurabel 
sind. Somit wird „im allgemeinen“ eine an- 
nähernd gleichförmige Überdeckung der Scheibe 
resultieren. 
Analoges gilt auch in anderen Fällen. Hat 
z. B. das im Abschnitt IV (2) erwähnte Gefäß 
die Gestalt eines ‚mathematischen Würfels“, so 
ist leicht einzusehen, daß die hineingeschleuderte 
Kugel sich trotz beliebig vieler Reflexionen nur 
in einer von acht bestimmten Richtungen be- 
wegen kann. Es genügt aber eine beliebig kleine 
Abweichung der Neigungswinkel der Wände, um 
diese Anordnung nach entsprechend langer Zeit 
zum Verschwinden zu bringen und: sämtliche 
Richtungen des Raumes für die Bewegung der 
Kugel gleich wahrscheinlich zu machen. Falls 
also nicht ein speziell „ad hoc“ mathematisch ge- 
nau konstruiertes Gefäß ausgesucht wird, so 
müssen innerhalb einer Schar derartiger Kugeln 
die Reflexionen derselben an den Gefäßwänden 
(außerdem auch die gegenseitigen Zusammen- 
stöße!) eine Gleichverteilung der Bewegungs- 
richtungen im Raume hervorbringen. 
Bis in alle Einzelheiten lassen sich diese Ver- 
hältnisse in einem ähnlichen, aber zweidimensio- 
nalen Beispiele übersehen, in welchem die mit 
den Reflexionen an den Wänden verbundenen 
Diskontinuitäten vermieden werden sollen. Stellen 
wir uns einen Punkt vor, welchen wir unter Ein- 
fluß willkürlich gewählter, voneinander unab- 
hängiger elastischer Kräfte X, Y eine zusammen- 
gesetzte Schwingungsbewegung: z=asinat, 
y=bsinßt, ausführen lassen, wie dies beispiels- 
weise bei der Darstellung der Lissajouschen Fi- 
guren in der Akustik geschieht. 
Würde es uns gelingen, die betreffenden elasti- 
schen Systeme (Stimmgabeln) derart abzugleichen, 
daß die beiden Schwingungszahlen miteinander 
kommensurabel werden, so würde der betreffende 
Punkt nur eine geschlossene Kurve in periodi- 
scher Weise zurücklegen, ohne die übrigen Teile 
der Fläche des Rechteckes ab zu durchstreichen. 
Kommt aber hierbei mathematische Genauigkeit 
in Betracht, so würde dies offenbar einen ganz 
ausnahmsweisen Spezialfall bilden, welchen wir 
mit menschlichen Hilfsmitteln nie zu erreichen 
hoffen können, da es unendlich wahrscheinlicher 













































Schwingungszahlen einstellt. Im allgemeinen | 
entsteht also eine ungeschlossene Kurve, welche 
jedem innerhalb des Rechteckes ab gelegenen | 
Punkte beliebig nahe kommt, und zwar findet mag 
leicht, daß die relative Häufigkeit (gleich de 
relativen Zeitdauer), mit welcher der schwingende 
Punkt in einem gewissen, an der Stelle x, y ge- 
legenen Flächenelement angetroffen wird, gegeben 
ist durch: 


Al 1 
W (x, y) da a ey me) en dy, 
und zwar ist dieses Wahrscheinlichkeitsgesetz, 
wie wir sehen, von der Art der Festsetzung der 
Schwingungszahlen (bzw. der Kräfte X, Y) im 
allgemeinen ganz unabhängig. — Bemerkt sei 
dazu noch, daß durch die obigen Schwingungs- 
gleichungen zu jedem Punkt der durchlaufenen 
Fläche eine (bzw. zwei) Fortschreitungsrichtung — 
und eine gewisse Bewegungsgeschwindigkeit zu- | 
geordnet ist. Falls nun anstatt eines einzigen, 
vom Nullpunkt ausgehenden Punktes eine ganze 
Schar derartiger, aber anfangs willkürlich über 
jene Fläche verteilter Punkte gemäß jenen For- 
meln in Bewegung gesetzt“wird, so ergeben ganz 
analoge Überlegungen wie vorher, daß im allge- 
meinen nach entsprechend langer Zeit die Spuren 
der ursprünglichen Anordnung der Punkte ver- 
schwinden, und eine von der Art derselben unab- 
hängige Verteilung nach Maßgabe des eben ange- 
führten Wahrscheinlichkeitsgesetzes resultiert. 
In ähnlicher Weise ist leicht einzusehen, daß 
andauerndes Durchrühren zweier in einem Gefäß | 
anfänglich gesonderter Farbstofflösungen im all- | 
gemeinen eine homogene Mischung bewirkt, daß 
eine Schar von Gasmolekülen, welche in einem 
geschlossenen Raume ursprünglich beliebig ange- 
ordnet wurden, sich im allgemeinen im Laufe der 
Zeit über denselben ohne Rücksicht auf die an- 
fängliche Anordnung so verteilt, als ob ihre 
Lagen ganz zufällig (mit gleicher Wahrscheinlich- 
keit für alle Volumelemente) wären. Dies recht- 
fertigt eben die Benützung der üblichen Methoden 
der kinetischen Gastheorie zur Berechnung solcher 
Größen, in denen die Durchschnittswirkung einer 
großen Molekülzahl zum Vorschein kommt. 
nn 
In allen derartigen Fällen sind singuläre Aus- 
nahmefälle theoretisch möglich, kommen aber 
wegen ihrer verschwindend geringen Wahrschein- 
lichkeit praktisch nicht in Betracht. Wenn wir 
aber, um diesbezüglichen Einwänden zu begegnen, 
deren Möglichkeit in der Formulierung unseres 
vorherigen Satzes (S. 259) berücksichtigen, so. | 
müssen wir in demselben das Wörtchen ‚immer‘ 
durch den Ausdruck ,,im allgemeinen“ — d. h | 
mit Ausnahme prozentuell verschwindend wenig 
zahlreicher Ausnahmefälle — ersetzen. F 
Vielleicht ist aber folgende, etwas präzisere 
Form vorzuziehen: Für eine Wirkung y, welche 
von der unvollständig bestimmten Ursache x ab- 



