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Heft ial 
26. 4. 1918 
hängt, besteht ein Wahrscheinlichkeitsgesetz, 
wenn die den betreffenden kausalen Zusammen- 
hang darstellende Funktion y=f(x) gewisse 
Eigentümlichkeiten besitzt, nämlich wenn: 
#1. kleine Änderungen von x im allgemeinen große 
Änderungen von y hervorrufen; 2. die Menge 
solcher Gruppierungen von x-Werten, welchen 
annähernd eine und dieselbe Gruppierung von 
y-Werten entspricht, wunermeßlich zahlreicher 
ist als die Menge der x-Gruppierungen, welchen 
merklich‘ abweichende y-Verteilungen entsprechen. 
Vom mathematischen Standpunkt aus wäre 
dieser Satz gewiß noch schärfer zu fassen, aber 
die obige Formulierung dürfte den Grundgedan- 
ken, auf welchen es hier ankommt, in genügend 
verständlicher Weise hervorheben. Wir machen 
auf einen Umstand noch ausdrücklich aufmerk- 
sam, welcher in dem eben Gesagten wie auch in 
fast allen unseren Beispielen klar zutage tritt: 
vollständige Zufälligkeit und dementsprechende 
Reinheit der Wahrscheinlichkeitsrelation bildet 
offenbar einen Idealfall, welcher in Wirklichkeit 
mit größerer oder geringerer Annäherung erreicht 
wird. In den praktischen Anwendungen der 
Wahrscheinlichkeitsrechnung ist man meist durch 
eine sehr rohe Annäherung vollkommen befriedigt. 
ME 
Noch wichtiger als die mehr formale Frage, 
die uns im vorigen Abschnitt hauptsächlich be- 
schäftigte, scheint mir die Frage nach der eigent- 
lichen Genese des Zufalls zu sein, welche durch 
den ersten der beiden daselbst erwähnten Ein- 
wände nahegelegt wird, teilweise allerdings auch 
schon in den betreffenden Beispielen ihre Beant- 
wortung findet. Die zufällige Variabilität der 
Ursachen, auf welche sich unsere ursprüngliche 
Erklärung ‚des Gesetzes der großen Zahlen stützte, 
ist ohne weiteres verständlich, wenn es sich um 
Experimente handelt, welche von menschlicher 
Hand ausgeführt werden; es wird da der Zufall 
in letzter Linie auf psychologisch-physiologische 
primäre Ursachen zurückgeführt. Wenn aber der 
Mensch, samt seinen unberechenbaren launischen 
Einfällen, ganz ausgeschaltet wird, wenn man an- 
nimmt, daß die einen physikalischen Vorgang be- 
stimmenden Umstände ganz exakt definiert sind, 
kann da der Begriff der Wahrscheinlichkeit keine 
Anwendung finden? 
Meist wird dies behauptet, während uns die 
Beispiele der beiden vorhergehenden Abschnitte 
eines Besseren belehren. Wird eine einzige Kugel 
in ganz bestimmter Weise auf ein „begrenztes“ 
4 YGaltonsches Brett gesetzt, dessen . Stiftreihen 
außerordentlich zahlreich sind, und entwirft man 
eine Statistik der Stellen, wo sie die nachein- 
anderfolgenden Reihen passiert, so wird man fin- 
den, daß alle Werte der Abszissen annähernd 
gleich häufig vorkommen; sie sind gleich wahr- 
scheinlich, und diese Behauptung bezeichnet hier 
eine objektive, vom Menschen unabhängige Tat- 

" Smoluchowski: Begriff d. Zufalls u. d. Ursprung d. Wahrscheinlichkeitsgesetze usw. 
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sache. Im Beispiele (2) läßt sich der Ort, wel- 
chen die in bestimmter Richtung hineingeschleu- 
derte Kugel in einem bestimmten Zeitpunkt ein- 
nehmen wird, theoretisch voraus berechnen, falls 
die Gestalt des Gefäßes mathematisch exakt ge- 
geben ist, aber ohne weiteres ist ersichtlich, daß 
alle Bewegungsrichtungen im Laufe der Zeit 
gleich häufig vorkommen, und daß die Kugel alle 
Teile des Gefäßes annähernd gleich häufig passie- 
ren wird. 
Ebenso ist im Beispiele der zusammengesetzten 
Schwingung (V. Abschnitt) die Wahrscheinlich- 
keit ganz klar definiert als relative Häufigkeit, 
mit welcher der bewegliche Punkt (innerhalb 
langer Zeiträume) in einem gewissen Flächenge- 
biete anzutreffen ist, obwohl dabei von einer Va- 
riation der die Bewegung bestimmenden Anfangs- 
bedingungen gar nicht die Rede ist. 
Es läßt sich nämlich der Begriff der objektiven 
Wahrscheinlichkeit in ganz analoger Weise auf 
alle solehe unvollständig determinierten (,,zufalli- 
gen“ im früher dargelegten Sinne) Erscheinun- 
gen anwenden, bei welchen dieselbe Art Elemen- 
tarvorgang sich (eventuell mit variablem ,,Para- 
meter“) im Laufe der Zeit immer wieder wieder- 
holt. Bekanntlich beweist die statistische Me- 
chanik, daß derlei Bewegungsvorgänge durchaus 
nicht selten sind; im Gegenteil, es gehören dazu, 
laut einem Satze von Poincaré, die Bewegungen 
aller „endlichen“ mechanischen Systeme konser- 
vativer Art. Sie sind sämtlich ,,quasiperiodisch“ 
(in speziellen Fällen exakt periodisch), d. h. daß 
sich der (beliebige) Anfangszustand im Laufe der 
Zeit mit beliebiger Annäherung wiederholt. Han- 
delt es sich übrigens um Bewegungen moleku- 
larer Systeme, so wird die Häufigkeit gleich- 
artiger Fälle noch durch den Umstand ganz außer- 
ordentlich vermehrt, daß die Individualität che- 
misch identischer Moleküle für physikalische Er- 
scheinungen gleichgültig ist. 
Um die Gesetze des physikalischen Zufalls ünd 
den Begriff der objektiven, vom Menschen voll- 
ständig unabhängigen Wahrscheinlichkeit noch 
klarer zu verstehen, wollen wir schließlich noch 
einen Vorgang näher betrachten, den man ge- 
radezu als den vollkommensten Typus dessen be- 
trachten kann, was „zufällig“ genannt wird, d. i. 
den radioaktiven Atomzerfall. Bekanntlich er- 
leiden die Atome des Radiums im Laufe der Zeit 
eine Umwandlung, indem sie sich durch explosive 
Abscheidung je eines a-Teilchens in Atome der 
Emanation transformieren. Dabei läßt sich aber 
an den Radiumatomen keinerlei progressive Evo- 
lution (nach Art des Alterns der Organismen) 
wahrnehmen. Wann ein beliebiges, gerade ins 
Auge gefaßtes Atom eine Umwandlung erleidet, 
das ist absolut zufällig, und es läßt sich das in 
keiner Weise weder beeinflussen noch voraus- 
sehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein 
soleher Prozeß gerade im Zeitraum d¢ stattfindet, 
ist ebenso groß für „junge“ wie für „alte“ Atome 
