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net ihn als Zirkulation [). Es läßt sich nun 
zeigen, daß ein aus dem unendlich langen Flügel 
herausgeschnittenes Stück von der Breite b (in 
Richtung der Spannweite gemessen) einen Auf- 
ieb A erfährt, welcher gegeben ist durch die 
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wobei e die Luftdichte (spez. Gewicht dividiert 
durch Fallbeschleunigung) bedeutet?). Ohne auf 
den genauen Beweis dieser Formel einzugehen, 
dürfte der darin ausgedrückte Zusammenhang 
nach dem im vorhergehenden Gesagten auch eini- 
germaßen einleuchtend sein. Bei v=0 (reine 
Zirkulationsströomung) und bei T=0 (reine 
Translationsströmung) ist kein Auftrieb vor- 
- handen, er ist vielmehr jeder dieser Strömungs- 
komponenten proportional. Daß er der Luft- 
dichte und der Breite des betrachteten Flügel- 
stückes proportional ist, versteht sich ja wohl 
ohne weiteres von selbst. 
Wenn man die Zirkulations- und die Trans- 
lationsgeschwindigkeit im gleichen Verhältnis 
ändert, so ändert man damit nur die Größe der 
resultierenden Geschwindigkeit, nicht aber ihre 
Richtung, infolgedessen bleiben auch die Strom- 
linien die gleichen, die ja die Strömungsrichtung 
in jedem Punkte angeben. Die Gestalt der Strom- 
linien hängt deshalb außer von dem umströmten 
Profil nur von dem Verhältnis Z (Zirkulation: 
Translationsgeschwindigkeit) ab, nicht aber von 
jeder einzelnen dieser beiden Größen. 
Durch diese Überlegungen haben wir den Auf- 
trieb in Zusammenhang gebracht mit der geome- 
Be Gestalt des 
eichnet durch das Verhältnis der beiden Grö- 
Ben: Fortschreitungsgeschwindigkeit v und 
Zirkulation T. Die nächste Frage ist nun, wie 
dieses Strömungsbild mit der Gestalt des Flügel- 
profiles zusammenhängt. Auch über diese Frage 
gibt die Theorie Aufschluß; und zwar spielt dabei 
die. Hinterkante des Profils eine wesentliche 
„Rolle, die auch bei allen praktisch brauchbaren 
Profilen einigermaßen deutlich vorhanden ist. 
Beim Umströmen einer scharfen Kante (Fig. 4) 
treten nämlich sehr starke Geschwindigkeits- und, 
"Druckunterschiede in der Nähe dieser Stelle auf, 
welche zur Ablösung eines Wirbels Anlaß geben 
(Fig. 6). Unter dem Einflusse dieses Wirbels 
verändert sich dann der Strömungsverlauf in dem 
Sinne, daß nach sehr kurzer Zeit keine Stromlinie 
‘mehr um die Kante herum geht. Der Wirbel ver- 
erößert sich solange, bis diese Wirkung erreicht 
4) Mathematisch ausgedrückt ist P= | v-ds über 
| ®.. % 
4 eine beliebige den Fliigel umschlieBende Kurve, wobei 
‘ds das Linienelement der Kurve und v die in die Rich- 
tung von äs fallende Komponente der Strömungsge- 
schwindigkeit an der betreffenden Stelle bedeuten. 
2) Bei m-kg-sek-Einheiten ist g für Luft unter nor- 
malen Verhältnissen ungefähr 3 = ute ; 
4 
Nw. 1918. - 
Strömungsbildes, gekenn- _ 
Betz: Einführung in die Theorie der Flugzeug-Tragflügel. 559 
ist, Tatsächlich findet der geschilderte Vorgang 
am Traeflügel beim Beginn der Bewegung 'stätt. 
Im ersten Moment hat man eine Strömung nach 
Fig. 4, aber gleich darauf beginnt die Wirbelbil- 
dung nach Fig. 6. Sobald der Wirbel die erfor- 
derliche Größe erreicht hat, wandert er mit der 
Strömung nach hinten weg. Das Strömungsbild 
um das Profil bleibt aber dauernd geändert (Fig. 3 
bzw. 7)1). Dieser Vorgang ist bald beendet und in 
kurzer Zeit befindet sich der Wirbel in solcher Ent- 
fernung, daß er auf die Strömung in der Nähe des 
Flügels keinen weiteren merklichen Einfluß mehr 
hat als die bleibende Verwandlung der zirkulations- 
losen Strömung in eine solche mit Zirkulation?). 
Um diesen tatsächlichen Verhältnissen Rechnung 
zu tragen, müssen wir daher auch bei der Poten- 
tialströmung, welche wir ja, wie erwähnt, wegen 
ihrer bequemeren mathematischen Zugänglichkeit 
an Stelle der wirklichen Strömung betrachten, die 
Forderung aufstellen, daß kein Umströmen der 
Flügelhinterkante vorkommt. Nun liegen die 
beiden „Staupunkte“ S, und Ss, in denen sich die 
Strömung vor dem Flügel teilt und hinter ihm 
wieder zusammenschließt (Fig. 4), je nach der 
Stärke der Zirkulation verschieden. Wir müssen 
also die Zirkulation so wählen, daß der hintere 
Staupunkt gerade mit der Hinterkante des Flügels 
zusammenfällt, daß sich die Stromlinien also ge- 
rade an der Hinterkante wieder zusammenschlie- 
Wirbel 
7 Hinterhante 
Fig. 6. Durch die Bildung eines Wirbels an der Hinter- 
kante des Flügels beim Beginn der Bewegung. wird die 
ursprünglich auftriebsfreie Strömung (Fig. 4) in die 
mit Auftrieb verbundene Strömung (Fig. 3) abgeändert. 
Nach seiner Ausbildung wandert der Wirbel mit der 
Strömung vom Flügel ab; es bleibt nur die Strömung 
nach Fig. 3 bestehen. 
ßen. Durch diese Bedingung ist bei gegebener 
Fahrtgeschwindigkeit und Profilform die Zirku- 
lation und damit der Auftrieb eindeutig fest- 
gelegt?). 
In Wirklichkeit haben wir nun keine reine Po- 
tentialströmung. Die Abweichung besteht haupt- 
sächlich darin, daß sich die Stromlinien hinter 
dem Profil überhaupt nicht mehr vollständig zu- 
sammenschließen, sondern eine Art ,,Totwasser“ 
(wirbelige Schicht) zwischen sich lassen (Fig. rae 
1) Vgl. Prandtl, Abriß der Lehre von der Flüssig- 
keits- und Gasbewegung (Fischer, Jena 1913) S. 18 und 
19. = Handwörterbuch der Naturwissenschaften, Ar- 
tikel Flüssigkeitsbewegung (und Gasbewegung). 
2) Funktionentheoretisch hat eine Potentialströmung 
mit Zirkulation notwendig eine singuläre Stelle (die 
meist ins Unendliche verlegt wird), welche einem Wir- 
bel entspricht. Es ist das eben der Wirbel, welcher 
beim Beginn der Bewegung entsteht. 
3) Analytisch läßt sich der Zusammenhang in ein- 
facher Weise zwar nur bei bestimmten Profilformen 
aufstellen. Durch Näherungsmethoden, insbesondere 
durch: graphische, kann man aber den Zusammenhang 
prinzipiell für jede beliebige Form finden. 
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