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mochte sie ihren Platz immerhin austiillen: nur 
durfte man von ihr nicht allzuviel verlangen, 
durfte nicht im Laufe der Deduktionen all ihre 
verborgenen Fehler ans Licht zerren, sorgfältig 
verfolgen, und auf ihnen weiter bauen, sonst 
mußte mit einem Male ein Unding resultieren. 
In einem solehen Falle muß dann die „Korrektur 
an der Wirklichkeit“ in ungemein hohem Maße 
eingreifen. 
In der Geometrie befinden wir uns in der 
glücklichsten Lage. In jedem Punkte der Wirk- 
lichkeit werden uns auf verhältnismäßig eindeu- 
tige Weise die notwendigen Idealisierungen nahe- 
gelegt. Wir werden sowohl durch das Bild des 
unvollkommenen rechtwinkligen Dreieckes auf die 
Idee des vollkommenen gelenkt, wie durch die ge- 
buckelte Linie auf die Gerade, wie durch die un- 
vollkommenen Kreise und Kugeln auf ihre voll- 
kommenen Ideale. Wenn wir an einem bestimm- 
ten Punkt nach schematischer Idealisierung nun 
mit der deduktiven Arbeit beginnen wollten, so 
würden wir nach längeren Deduktionen und er- 
neuter „Kontrolle an der Wirklichkeit“ mit Ver- 
gnügen sehen, gerade dorthin gekommen zu sein, 
wohin uns die Idealisierung und Reinigung der 
Realität, wenn sie von Anfang an in jenem 
Punkte eingesetzt hätte, auch geführt hatte. Wir 
sehen also, daß, wo immer wir einsetzen, stets ein 
gewisser konstanter sich nicht vergrößernder Ab- 
stand zwischen unseren begrifflichen Zeichen und 
- der Wirklichkeit bleibt, denn die Idealisierungen | 
sind verhältnismäßig eindeutige und - wesentliche 
(für unsere Zwecke wesentliche), und neue Natur- 
daten kommen nicht hinzu. Ja, wir können an- 
nehmen, daß wir prinzipiell ohne jede Deduktion 
nur durch die unaufhörliche Idealisierung von Er- 
fahrungstatsachen zu ganz ähnlichen Lehrsätzen 
gekommen wären (nur wäre der Aufbau ein ganz 
anderer gewesen), denn wäre das nicht der Fall, 
so hätte die „Kontrolle an der Wirklichkeit“ uns 
auf eine verfehlte (unwesentliche, nicht notwen- 
dig falsche) Richtung der Deduktion oder auf eine 
unglückliche Idealisierung einer Tatsache oder auf 
plötzlich wesentlich gewordene neue Naturtat- 
sachen hinweisen müssen. Tat sie das nicht, so war 
es uns möglich, nun an einen logischen Aufbau 
unseres Gebäudes zu gehen, einige Tatsachen, aus 
denen sich dann alles logisch ableiten läßt, an die 
Spitze zu stellen und das übrige im Vertrauen auf 
die bewährte Konstanz des Abstandes zwischen 
Bild und Nor Er Deduktion zu über- 
lassen. 
Allerdings ist es nachträglich möglich, jede 
Erfahrungstatsache (besonders jede stark ideali- 
sierte) nicht als solche, sondern als „Definition“ 
zu bezeichnen und ist ein solcher rein axiomati- 
scher Aufbau eines Systems von ebenso hohem lo- 
gischen wie rein mathematischen Interesse; nur 
darf man nicht vergessen, welchen Tatsachen eben 
die vorliegende Auswahl der Definitionen ihr Be- 
stehen und unser Interesse an ihnen dankt. Denn 
prinzipiell sind unendlich viele höchst uninteres- 
- sondern werden die Worte Riemanns in seiner be- 

, 














































Geiringer: Die nichteuklidschen Geometrien und das Raumproblem. | [ 2 
sante Gruppen von Den mit ebenso fold e- 
richtigen wie uninteressanten daran anschließen- 
den Lehrgebäuden möglich. > 
Wir werden also nicht erwarten, in der Geo- 
metrie ein Lehrgebäude zu finden, in dem allege 
mit eindeutiger innerer Notwendigkeit abläufs 
rühmten Habilitationsschrift verstehen, ‚daß die 
Sätze der Geometrie sich nicht aus allgemeinen 
Größenbegriffen ableiten lassen, sondern daß die- 
jenigen Eigenschaften, durch welche sich der 
Raum von anderen denkbaren dreifach ausgedehn- 
ten Mannigfaltigkeiten unterscheidet, nur aus der 
Erfahrung entnommen werden können ... Diese | 
Tatsachen (der Erfahrung) aber sind wie alle 
Tatsachen nicht notwendig, sondern nur von em 
pirischer Gewißheit, sie sind‘ Hypothesen“. 
Was nun die Relativität des Raumes anbe- 
trifft, so können wir sagen, daß sie für ihn - 
eben den Maße nicht mehr und nicht minder me | 
steht wie für unsere übrigen Wahrnehmungen von 
der Natur, d. h. also in zwei Beziehungen: 
Die erste bezieht sich auf die bekannten | 
Überlegungen, durch die Delboeuf und Poincaret 
und nach ihnen noch viele uns begreiflich 
machen, daß, wenn eines Nachts (ich deute hier | 
nur grob an alle Dimensionen des Universums. 
sich vertausendfachten, wir von alledem nichts 
merken würden, da, analoge Transformationen 
unserer Instrumente und unserer Sinne vorausge- a 
setzt, wir kein Mittel hätten, diese Vergrößerung | 
zu konstatieren; ja daB Seh noch viel einschnei- 
dendere in gleicher Weise unkonstatierbare Ver- 
änderungen vollziehen könnten. — Bei all diesen | 
weit ausgesponnenen Überlegungen ist zunächst 
nicht einzusehen, welche spezifische Eigenschaft 
gerade der räumlichen Wahrnehmung durch sie | 
dargelegt werden sollte. Wenn eines Nachts ale 
Farben um einige Nuancen dunkler würden oder 
nach einem bestimmten anderen Gesetz, das noch 
so kompliziert sein könnte, sich veränderten, so 
würden wir, vorausgesetzt, daß in unserem Auge 
und in unseren optischen Instrumenten ent- | 
sprechende Veränderungen vorgingen, in, der” | 
Früh auch nichts bemerken. Wenn alle Blumen- 
düfte eines Nachts verschwänden, so würden wir, 
entspreehende Veränderungen in unserem Riech 
organe vorausgesetzt, die hier die wesentlichsten 
Meßinstrumente sind, auch nichts merken usw. | 
Es ist eben nicht nur für den Raum, sondern für 
alle Dinge der Mensch das Maß der Dinge, und 
der Raum hat nicht mehr aber auch nicht weniger 
„reales“, „absolutes“ in sich als die übrige” 
Sinnenwelt. | 
Hat hier die Abhängiekeit der Raumwahr- 
nehmung von unserer "physiologischen Konstif 
tion zu einer „Relativität“ geführt, so ergibt sich 
die zweite fundamentale Relativität (die aber auch 
ihr Gegenstück hat) durch die Möglichkeiten der’ 
verschiedenen logischen Interpretationen unserer 

1) „Wert der Wissenschaft. 
