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’ lat). Denken wir uns eine Gerade g, einen 
festen Punkt O außerhalb derselben und einen 
auf g gelegenen beweglichen Punkt A und 
ziehen wir die jeweilige Verbindung OA, OA’ 
9% . Nun wissen wir ja, wenn wir A immer 
weiter auf g wandern lassen, daß die OA’ alle 
möglichen Lagen zwar augenscheinlich durchwan- 
dern werden, uns aber nie die parallele Rich- 
tung g’ liefern werden. Woher aber wissen wir, 
ob wir nicht vielleicht schon über andere Grenz- 
lagen, z. B. p, p’, nicht hinauskommen werden? 
Das ist eben keine anschauliche Selbstverständ- 
lichkeit. Euklid sagt, daß der Winkel y = 0 ist, 
dafür ist aber kein anschaulicher Grund einzu- 
sehen, es könnte also ganz gut in diesem Winkel 
ein Büschel Gerader geben, die g nicht schneiden. 
A Tie 
n 

Fig. 2. 
Der wichtigste Satz, der ohne das Parallelen- 
axiom nicht abgeleitet werden kann, ist der von 
der Winkelsumme des Dreieck. Sei (Fig. 2) 
ABC ein Dreieck, mit den Winkeln a, ß, 9; 
machen wir y’ = y durch Ziehung von g’ und 
ß’ = ß durch Ziehung von g”; dann sind g’ und 
g”’ sicher Gerade, die die verlängerte Dreieck- 
basis nicht schneiden. Es ist aber die Frage, ob 
die beiden Riehtungen wirklich die gleichen sind, 
ob die Fortsetzung von g” über A hinaus mit g° 
zusammenfällt und umgekehrt, und dazu brauche 
ich das Parallelen-Axiom. 
Aber auch umgekehrt: wenn wir zeigen könn- 
ten, daß die- Winkelsumme in jedem Dreieck 
gleich ist 2R, so wäre das Axiom richtig. In 
dieser Weise führten alle direkten Versuche, das 
Parallelen-Axiom zu beweisen, nur darauf, es durch 
äquivalente Axiome zu ersetzen, und so schlug 
man.den anderen Weg ein, nämlich eine neue Geo- 
metrie aufzubauen ohne Hilfe des Postulats in 
der Hoffnung, im Laufe der Untersuchungen auf 
einen Widerspruch zu stoßen. 
Was bedeutet nun der Wegfall unseres Axioms ? 

Ziehen wir von P aus das Perpendikel p und 
die verschiedenen Geraden PA, PA’ etc. Nach 
Euklid erhalten wir, wenn wir A auf g wandern 
lassen, alle Geraden bis auf eine: g’. Wenn es 
aber nicht gilt, dann ist g’ nicht die einzige un- 
erhältliche Gerade, sondern es gibt eine Grenz- 
Geiringer: Die nichteuklidschen Geometrien und das Raumproblem. 
‚ist als der „Parallelwinkel“ @, so erhält man kein 














































[„pie Natur. 
wissenschafte 
a 
lage g&” und die heißt schon „Parallele zu 
durch P“. Alle schneidenden Geraden füllen als 
(wenn wir von symmetrischer Umklappung absehen) 
den Scheitelraum zwischen p und g” aus. Wir er- _ 
halten so eine Reihe von rechtwinkligen Dreieckeg 
mit p als Kathete, die Winkel « und ß ändern sic 
Nun sagt die „hyperbolische Geometrie“ (so wol- 
len wir eine Geometrie nennen, die an Stelle der 
einen Parallelen ein ganzes Bündel solcher soli 
aus, daß in einem rechtwinkligen Dreieck mit 
gehener Kathete der Winkel 8 nicht jeder beliebige 
spitze Winkel sein kann, sondern daß, wenn der x | 
(p 2’) = @ ist, B < @ sein muß. Wenn 8 größer 
Dreieck. In der euklidschen Geometrie kann der 
<x ßin einem rechtwinkligen Dreieck beliebig sein, | 
in der hyperbolischen ist 8 < @ und der Winkel 7 
irgendwie von der Kathete p abhängig, und ein 
wichtige Aufgabe wird die Ermittelung der Art 
dieser Abhängigkeit sein. Schreiben wir mit 
Lobatschewsky (einem der Begründer der nicht- | 
euklidschen Geometrie) = A (p), so ist in dae 
gewöhnlichen Geometrie immer 7 (p) = 90°; hier 
aber wächst 17 (p) bis 90°, wenn p > 0 A 
und nimmt bis 0° ab, wenn 7— OO wächst. = 
Die wichtigste Folgerung der hyperbolischen 
Geometrie ist, daB hier die Winkelsumme im Drei- 

Fig. 4. 
ro eo 
a 203 al Fa > ie 
eck immer < 2R ist, und zwar umso mehr kleiner, 
je größer die Dreiecksfläche ist; dies ergibt sich 
ebenso wie die bezüglich der Funktion W aufge 
stellten Folgerungen aus -den übrigen Aloe 
bei der erwähnten Abänderung des Parallelen- | 
axioms. Aus dem Winkelsatz des Dreiecks folgt | 
speziell auch die für uns wichtige Tatsache, daß 
es hier keine „Quadrate“ im gewöhnlichen Sinne) 
gibt (Figuren mit 4 gleichen Seiten und 4 rechten 
Winkeln), denn die Winkelsumme wäre hier < 
4R, und zwar umso mehr kleiner, je flächen | 
größer das Quadrat ist. Wir können uns eine solche 
Figur bei geradliniger Begrenzung nicht vor- 
stellen, eine näherungsweise . Vorstellung gibt | 
Fig. 4. Dasselbe gilt natürlich für Rechtecke, 
und es ist klar, daß solche Rechtecke, die mit der 
Größe ihre Gestalt ändern, die Anwendung als 
Koordinaten im gewöhnlichen Sinne verbieten. 

Veranschaulichung der nichteuklidschen ; 
Geometrie durch die Geometrie auf der Fla 
Wir haben bisher die beiden Hypothesen betrach-. 
tet, daß durch einen Punkt zu einer Geraden nur 
eine oder unendlich viele Parallelen möglich seien. 
Auch der dritten möglichen Hypothese, nämlich 
der, daß gar keine Parallele möglich sei, ent- 
