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Heft:44. | - eiri - 
11. ivi] & er 










































pricht eine Geometrie, allerdings nur, wenn man 
| mit Riemann die Ansicht fallen läßt, der Raum 
‘sei unendlich ausgedehnt, sondern annimmt, er 
sei nur unbegrenzt (die Gerade z. B. ist unendlich, 
ler Kreis unbegrenzt). 
N Diese Geometrie kann man anschaulich dar- 
stellen, indem man sie als Geometrie auf der Ku- 
. gel interpretiert. Machen wir die bekannte Helm- 
he holtzsche Fiktion der ,,Flachenwesen“, die nicht 
mit drei-, sondern mit 2weidimensionaler An-. 
| sehauung, begabt mit Sinnen ähnlich den unsern, 
die Geometrie ihrer Flächen studierten. Ihre 
Ki „geradesten Linien“ wären die geodätischen Li- 
' nien der Fläche (Linie eines der Fläche entlang, 
ihr anliegenden gespannten Fadens), die kür- 
 zeste Linie zwischen zwei Punkten wäre für das 
 Kugelwesen ein Bogen des größten Kreises, der 
_ durch diese zwei Punkte geht; sind die beiden ge- 
gebenen Punkte Endpunkte desselben Kugeldurch- 
_messers, so sind unendlich viele, untereinander 
gleich lange, kürzeste Linien möglich; somit wäre 
schon (das Axiom, das durch zwei Punkte nur 
eine Gerade möglich sei, hier nicht ausnahmslos 
| gültig. Parallele (= nicht schneidende ,,Gerade“) 
existieren nicht, sondern zwei’ „geradeste“ Linien 
| schneiden sich, gehörig verlängert, nicht nur in 
einem, sondern in zwei-Punkten. Die Winkel- 
summe im Dreieck wäre immer größer als 2R und 
" umso mehr größer, je größer die Dreiecksfläche; 
da ein größeres Dreieck notwendig andere Winkel 
hätte als ein kleineres, so fehlt der Begriff der 
Ähnlichkeit. 
? Denken wir uns die Flächenwesen eines e:för- 
_ migen Körpers: Hier fehlt z. B. nicht nur der 
Begriff der Ahnlichkeit, sondern auch der der 
_ Kongruenz, wie man leicht sieht; denn, wenn wir 
zwei Dreiecke (aus drei geodätischen Linien) auf 
verschiedenen Stellen der Fläche konstruieren, so 
würden bei gleich langen Seiten ihre Winkel nicht 
gleich ausfallen. Kreise mit gleichen Radien hät- 
ten am stumpfen Ende eine größere Peripherie 
| als am spitzen ete, 
| Suchen wir mit Gauf eine Bedingung fiir 
| solche Flächen, auf denen es möglich ist, im Ge- 
| gensatze zu dem zuletzt dargestellten, Figuren 
ohne Gestaltsänderung frei zu verschieben. Eine 
| solehe Bedingung wird von den „inneren Maß- 
|  verhältnissen- der Fläche“ sprechen müssen, d. h. 
von Beziehungen, die von dem Flächenwesen fest- 
_ gestellt werden könnten, welche sich ja aus ihrer 
Fläche nicht hinausbewegen können. Gauß ging 
bei seinen flächentheoretischen Untersuchungen 
von der praktischen Arbeit der hannoveranischen 
_ Landesvermessung aus, wobei man durch Vermes- 
ıng eines Stückes der Erdoberfläche aus der Tat- 
i 


a Brenden Dreiecke des Triangulationsnetzes einen 
neuen Beweis dafür erhielt, daß die Erde keine 
ba Ebene sei. Nehme ich hingegen ein ebenes Pa- 
_ pierblatt, auf das ich Figuren zeichne, und rolle 
he es zusammen (zylinderförmig oder kegelförmig), 
so finde ich durch Ausmessung der Figuren auf 
Die nichteuklidschen Geometrien und das Raumproblem. 
che der sich nicht liickenlos aneinander schlie- - 
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dem zusammengerollten Blatt die gleichen Aus- 
messungen wie auf dem ebenen. Ganz allgemein 
gilt auf Flächen, die durch Verbiegung ohne Ver: 
zerrung auseinander hervorgehen, die gleiche 
Geometrie. 
Charakteristisch für diese inneren Maßverhält- 
nisse der Fläche ist das Gaufische Krümmungs- 
maß. Er definiert in exakt mathematischer Form 
die „Krümmung“ einer Fläche aus Abmessungen, 
die man bloß auf der Fläche selbst vorzunehmen 
hat und zeigt, daß bei gleichen Krümmungsmaßen 
k die inneren Maßverhältnisse zweier Flächen die 
gleichen sind, und daß, wenn k in jedem Pünkte 
der Fläche denselben Wert hat, also bei konstan- 
stantem k — aber nur bei solchem — die oben 
geforderte Möglichkeit der freien Verschiebung 
von Figuren ohne Änderung ihrer Maßverhält- 
nisse eintritt. 
Auf der eiförmigen Fläche ist & nicht kon- 
stant,auf der Kugel ist k konstant und zwar größer 
als 0, in der Ebene ist k konstant und gleich 0. 
Man zeigt nun, daß die Geometrie auf Flächen 
mit konstantem aber von 0 verschiedenem Krüm- 
mungsmaße zusammenfallt mit den Geometrien, 
in denen man das Euklidsche Postulat fallen ge- 
lassen hat. Wollen wir uns die hyperbolische Geo- 
metrie, von der wir eingangs sprachen, auf einer 
Fläche veranschaulichen, so lassen wir etwa eine der 
folgenden Figuren rotieren und erhalten eine soge- 
nannte Pseudosphäre. (Freilich realisiert jeder Teil 
der-Umdrehungsfläche, z. B. der Traktrix Fig. 5, 
in die sie durch ihre scharfe Kante zerfällt, nur 
Fig. 5. Fig. 6. Fig. 7 
einen Teil der nichteuklidschen Ebene. Doch 
wollen wir auf diesen schwierigen Punkt nicht 
näher eingehen.) 
Zwischen der alle auf einer Fläche kon- 
stanter Krümmung und der von einem Teil der 
Ebene besteht eine Analogie, die wir mit Bonola 
durch folgendes „Lexikon“ veranschaulichen: 
a) Fläche a) Teil der Ebene 
b) Punkt b) Punkt 
ce) geodätische Linie c) Gerade 
d) Bogen einer geodä- d) Strecke 
tischen Linie 
e) lineare Eigenschaf- e) Postulate über die An- 
ten der geodätischen ordnung der Punkte 
Linie auf einer Geraden 
f) zwei Punkte bestim- f) zwei Punkte bestim- 
men eine geodä- men eine Gerade 
tische Linie ete. ete. ete. etc. 
Wenn man die Geometrien auf all diesen 
Flächen (Sphären, Pseudosphären, Ebene)  ver- 
gleicht, so sieht man, daß wir als gemeinsame 
Eigenschaften für die Geometrie all dieser Ober- 
flächen all die Eigenschaften festhalten können, 
