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die bei der Euklidschen Anordnung unabhängig 
vom Parallelen-Postulat sind und bei denen der 
Beweis nicht von der vollständigen Ebene Ge- 
brauch macht (z. B. von der Unendlichkeit der 
Geraden). 
Geiringer : 
Allgemeiner Gaußscher Standpunkt. 
Betrachten wir Kurven und Flächen im Eu- 
klidschen Raume mit den Carthesischen Koordi- 
natener syn 
z=z2(u,y=y(u,2=2 (u) 
ist bekanntlich eine „Parameterdarstellung“ einer 
Kurve, wobei der Parameter u noch einer belie- 
bigen stetigen Transformation unterworfen wer- 
den kann. Die Punkte einer zweidimensionalen 
Punktmannigfaltigkeit, einer Fläche, können durch 
die Werte zweier Parameter Ws, U» unterschieden 
werden. 
x= & (u, Uy), y=y (uy; Us), ee (uy, Ug). (1) 
Die Parameter wi, us bezeichnet man als Gauß- 
sche oder krummlinige Koordinaten auf der 
Flathe; eine Parameterdarstellung der Kugel lie- 
fern z. B. die geographischen Kon Länge 
und Breite. Wir können die Formeln (1) auch 
als stetige Abbildungen der dreidimensionalen 
Mannigfaltigkeit der x, y, z auf die w, we Ebene 
ansehen, wie sie aus den Kartenprojektionen z. B. 
der stereographischen Projektion oder der Mer- 
kator-Projektion jedem geläufig sind. Zieht man 
im der u, us Ebene rechtwinklige Koor rdinaten, so 
überträgt sich dieses Netz vermöge der Abbildung 
auf die krumme Fläche. 
Wir haben also hier in diesen krumm- 
linigen Koordinaten einen Ersatz für die Car- 
thesischen Koordinaten in der Ebene. Es ist nun 
klar, daß, ebenso wie die inneren Eigenschaften der 
Ebene sich nicht ändern, ob man ihre Geometrie 
etwa in Carthesischen oder in Polarkoordinaten 
treibt, ebenso die Gesetzmäßigkeiten der Fläche 
sich bei konsequenter Durcharbeitung unabhängig 
von der speziellen Wahl der krummlinigen Koor- 
dinaten ergeben müssen. Mathematisch drückt 
sich das darin aus, daß in (1) die w, us noch einer 
beliebigen eindeutigen stetigen Transformation 
unterworfen werden können. 
Wichtig ist nun der Ausdruck für den Abstand 
ds zweier unendlich naher Punkte (u, Ur) 
(u + du, us + dus) auf der Fläche, dieser wird 
sich natürlich nicht in den krummlinigen Koordi- 
naten durch die gewohnte Formel du+dus? — ds? 
darstellen, sondern wir müssen zu seiner Berech- 
nung zunächst auf die räumlichen (Carthesischen) 
Koordinaten rekurrieren. Es ist 
ds? — dx? + dy? + dz, 
und da 
On Ox 
I Ci peas 
so ist 
ds? = gy, dU? + 2919 AU, Aula + Gop Au, . (2) 
wobei die 
Gik = 
Ox Ox 
Oy Oy Oz Oz 
Ou; Our 
du; dur +5 u dur’ 

Die nichteuklidschen Geometrien und das Raumproblem. 
- die drei Fälle eines konstanten k2o die drei 
‚weniger in der kunstvollen formalen Verallgemei- 











































[ Die Natur 
wissenschaften 
im allgemeinen keine Konstanten, sondern Funk- 
tionen von (w, us) sind. Gauß erkannte, daß 
diese ,,metrische Fundamentalform“ ds in ähn- 
licher Weise wie das früher erwähnte Krüm | 
mungsmaß bestimmend ist für die Geometrie auf” 
der Fläche, daß die Geometrie auf zwei Fläche 
dieselbe ist, wenn für sie bei geeigneter Para- — 
meterdarstellung die Koeffizienten g;, der metri- | 
schen Fundamentalform übereinstimmen. Alle 
geometrischen Verhältnisse auf der Fläche kön- 
nen wir im Bilde der (u, we) Ebene verfolgen, 
wenn wir nur übereinkommen, unter dem Ab- 
stand ds zweier unendlich naher Punkte nicht den 
durch die Pythagoreische Formel ds? = du? dus? a 
gelieferten Wert zu verstehen, sondern (2). Für 
die Kugel z. B. erhalten wir ein ganz be 
stimmtes ds, und daß auf der Kugel nicht dieselbe | 
Geometrie wie in der Ebene gilt, besagt analy- — S| 
tisch, daß es unmöglich ist, die quadratische Dif- _ | 
ferentialform der Kugel i 
(1 61? + Ug”) (deey? + datg?)— (u, diy tu; days 1 
(1 + w,? + w,?)? 
durch irgend eine Transformation 
U4 = Uy (uU); Uy = Uy Ur) 
auf die Gestalt du’s?+du’s? zu bringen. Haben 
wir so jedem Kontinuum einen bestimmten und 
charakteristischen ,,Abstand“ zugeordnet, so gilt 
mit bezug auf diesen Abstand im unendlich klei- . 
nen die Euklidsche Geometrie. 

a= 
Allgemeiner Riemannscher Standpunkt. 
Riemann überträgt nun die Gaußschen Ideen 
auf mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten. Er | 
meint, daß die Annahme a priori, der Raum sei | 
euklidisch = „eben“, und daß ein Abstand durch 
die Pythagoreische Formel gegeben, nicht notwen- _ 
dig sei; es seien— zunächst mathematisch—auch 
gekrümmte Räume denkbar, die sich vom Euklid- — 
schen Raum ebenso unterscheiden wie die ge- 
krümmten Flächen von der Euklidschen Ebene. 
Er definiert ein Krümmungsmaß des Raumes, 
dessen Konstanz die Möglichkeit charakterisiert, 
Körper und Figuren in dem Raume ohne Gestalts- 
änderung zu verschieben; wieder ist diese Be 
ziehung notwendig und hinreichend, wieder liefern 

früher ausführlich besprochenen Raumgeometrien. 
Das Große in dieser Verallgemeinerung liegt 
nerung der Gaußschen Gedanken, sondern viel- 
mehr in der Konzeption des Gen eines 
möglicherweise „gekrümmten“ Raumes; denn die 
verschiedenen Formen von Flächen sind unserer 
Beobachtung zugänglich, für den Raum aber fehg 
len derartige Beobachtungen. Wir betrachten als 
ganz allgemein n-dimensionale Manniefaltig- 
keiten, auf ‘denen wir n krummliniee Koordi- 
naten einführen. Das Linienelement ds denken. 
wir uns gegeben durch die!Wurzel aus ds? = 5 Dik 
dx; dx, Als „eben“ werden diese n-dimensionalen 
Mannigfaltigkeiten bezeichnet, in denen die Form 
ds?=du?+du?2+ . CG! Un? sich durch stetige 
