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241. 11. 1918 
_- Transformationen der Art w,=%,(w;' ... Un’); 
Ug = Ug (Uy... Un!) 2 Un = Un Ons te ete 
erreichen läßt. Ist das Krümmungsmaß nicht 
® gleich 0, sondern konstant und = «, so läßt sich 
= die Formel 
a at dud +... tau? 

Di Lp tu +... Hu) 
herbeiführen. 
= Da die Geometrie auf der „Fläche“ nicht von 
_ der Wahl ‘der speziellen Parameter u U 
abhängt, ebenso wie die Gesetzmäßigkeiten der 
> Ebene nicht von der Koordinatenwahl abhängen, 
so werden wir, wenn wir für die u, ein ds, für 
die wu,’ ein ds’ erhalten haben (wobei ds und ds’ 
durch die Transformation der u, in die =; in- 
einander übergehen), ganz die gleichen Gesetz- 
mäßigkeiten erhalten, wenn wir mit den u; und 
den ds oder wenn wir mit den uw,’ und den ds 
rechnen, was wir auch so ausdrücken können: 
” Die Geometrie einer n-dimensionalen Mannigfal- 
tigkeit, für die in jedem Punkte ein bestimmtes ds 
= existiert, ist unabhängig von der speziellen Wahl . 
a der Gaußschen Koordinaten, mittels derer die n- 
|. dimensionale Mannigfaltigkeit ausgemessen wird. 
| Wenn wir also früher sagten, daß auf Flächen, 
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die aufeinander abwickelbar seien (d. h. die man 
‚durch Verbiegung zur Deckung bringen kann), 
die gleiche Geometrie herrsche, so machen wir uns 
jetzt klar, daß der Übergang etwa von der Ebene 
zur Zylinderfläche, auf denen ja eben die gleiche 
Geometrie herrscht, einfach dem Übergang von 
einem Gaufschen Koordinatensystem zu einem an- 
deren (auf der Zylinderfläche oder der Ebene) 
entspricht. Früher aber hatten wir gesagt, daß 
die notwendige und hinreichende Bedingung für 
die Abwickelbarkeit zweier Flächen aufeinander 
in der Konstanz des Krümmungsmaßes bestehe, 
während wir jetzt diese Abwickelbarkeit geome- 
trisch dahin deuten, daß nun bei Einführung 
verschiedener Gaußscher Koordinaten auf der 
Fläche u us wu’; Wa... . (wobei sich das eine Mal 
das ds (u), das andere Mal das ds’ (u’) als metri- 
sche Fundamentalform ergibt) wir naturgemäß 
beide Male die gleiche Geometrie erhaltent). 
Man könnfe meinen, daß infolge der Forde- 
rung der Existenz der Körper unabhängig vom 
Ort von Anfang an ein überall konstantes Krüm- 
mungsmaß gefordert werden müßte, doch wäre 
das übereilt, worauf eben gerade die allgemeine 
Relativitätstheorie hingewiesen - hat. 
Während also (wie Weyl es ausdrückt) bei 
 Euklid der Raum von vornherein von viel spe- 
_ ziellerer Natur angenommen wird, als die in ihm 
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1) Mathematisch drückt sich dieser hier formulierte 
Zusammenhang zwischen dem Krümmungsmaße und 
der metrischen Fundamentalform so aus, daß man sagt, 
die Krümmung sei eine „Differentialinvariante‘“ der 
quadratischen Differentialform,.d. h. eine Größe, die 
aus den Koeffizienten der metrischen Fundamental- 
form in solcher Weise gebildet ist, daß sie für zwei 
Differentialformen, die durch Transformation aus- 
_  -einander-hervorgehen und für Argumentpaare, die sich 
- durch Transformation entsprechen, denselben Wert habe. 
Schmidt: Neuere Fortschritte in der Theorie der Lumineszenzerscheinungen. 
.sche 
641 
. 
möglichen Flächen, nämlich eben, hat bei Rie- 
mann der Raumbegriff gerade denselben Grad 
von Allgemeinheit wie die in ihm möglichen Ge- 
bilde, d. h. er ist in jedem Punkte nicht von An- 
fang an durch die Euklidsche Form des ds, son- 
dern durch die allgemeinere I gie dui dur charak- 
terisiert, wobei die g;, schon bei den Räumen von 
konstantem, aber von 0 verschiedenem Krüm- 
mungsmaße nicht konstant sind, wieviel weniger 
etwa bei „eiförmigen“ Räumen, bei Räumen mit 
inkonstantem k. Selbstverständlich sind die Lo-. 
batschewskysche (pseudosphärische oder hyperbo- 
lische), die Euklidsche und die sphärische (ellip- 
tische) Raumgeometrie als spezielle Fälle in der 
Riemannschen Geometrie enthalten, deren Grund- 
gedanke es ja .eben ist, sich nicht von Anfang an 
auf ein konstantes ds und speziell nicht auf das 
Euklidsche festzulegen. 
Im allgemeinen Riemannschen Raume stellt 
sich die Fläche naturgemäß als zweidimensionaler 
Riemannscher Raum dar, in dem auch hier wieder 
C= HG (u, U), YHY (Uy, Us), 2=2 (thy, Us). 
ere Oa 0x 
Die Differentiale dx = Aus du; + 2 du, ete. werden 
1 2 
hier aber nicht in das spezielle Euklidsche 
ds? — dx? + dy? + dz?, sondern’ in das betreffende 
Riemannsche ds? = gu da? + gio dx dy +... ein- 
‚gesetzt, so daß sich die Metrik des dreidimensio- 
nalen Riemannschen Raumes in der Metrik der 
betreffenden Fläche spiegelt. 
Wir haben also als vorläufig allgemeinstes 
nichteuklidsches Gebilde einen Riemannschen n- 
dimensionalen Raum gewonnen, in dem Riemann- 
n-dimensionale „Flächen“ möglich sind, 
dessen Krümmungsmaß von Punkt zu Punkt vari- 
iert, dessen metrische Fundamentalform ds Koef- 
fizienten hat, die ihre Werte von Punkt zu Punkt 
ändern und dessen Geometrie, insofern sie auf 
der Existenz des Linienelementes basiert, von der 
speziellen Wahl der. Gaußschen Koordinaten des 
Raumes, d. h. von allen möglichen eindeutigen 
und stetigen Transformationen derselben unab- 
hängig ist, was der geometrischen Tatsache der 
„Abwickelbarkeit“ von Flächen gleicher Krüm- 
mungsverhältnisse aufeinander entspricht. 
Gerade dieser allgemeinste, nichteuklidsche 
Raum ist es, mit dem sich die allgemeine Rela- 
tivitätstheorie beschäftigt. 
_ (Schluß folgt.) 
Neuere Fortschritte in der Theorie der 
Lumineszenzerscheinungen. 
Im Jahre 1888 hat Eilhard Wiedemannt) vorgeschla- 
gen, sämtliche Lichtemissionserscheinungen in zwei 
Gruppen zu scheiden. Charakteristisch für beide Grup- 
pen ist dabei die Temperatur, bei welcher das Leuchten 
einsetzt. Wenn man nämlich bei einem Körper durch 
unmittelbare Wärmezufuhr die Bewegungen der Mole- 
küle, welche die Wärme bedingen, so hoch steigert, daß 
dadurch bestimmte molekulare Komponenten in Licht- | 
schwingungen geraten, so erhält man eine reine Tem- 
peraturstrahlung, für welche das Kirchhoffsche Gesetz 
1) H. Wiedemann, Wied. Ann. 34, S. 446; 1888. 
