



“macht Paton, daß die Frage nach der Struktur des 
„mathematischen“ Raumes an sich sinnlos ist, 
"indem dieser prinzipiell auf jede beliebige Art 
_ ausgemessen werden kann, so ist uns jetzt klar, 
daß die Frage nach der Struktur des physikali- 
schen Raumes durch gewisse ie präzi- 
R siert werden muß. Haben wir aber B. einen 
Lichtstrahl als physikalische Gerade EN so 
können wir nun allerdings fragen, ob diese physi- 
ö lichen . Geraden ein Euklidsches oder nicht- 
— euklidsches Dreieck bilden. of 
Waren diese beiden Gesichtspunkte von prin- 
a. Bedeutung selbst für die idealsten Meß- 
_ werkzeuge giltig, so ist schlieBlich der Tatsache 
ga gedenken, daß unsere Beobachtungen eben 
Einen Anspruch auf absolute Genatigkeit machen 
_kénnen. Nun sind aber die zu konstatierenden 
- Variationen des Kriimmungsmafes auf jeden Fall 
innerhalb des zugänglichen Beobachtungsfeldes 
sehr klein. Die Beobachtung ist ungenau, die 
- Formulierung zwingt zur Präzision und zu einer 
der Anschauung fremden Präzision. Was für die 
Anschauung hier fast zusammenfällt, trennt be- 
F  grifflich zwei Welten voneinander, und die ver- 
| hältnismäßig beobachtungsfremde Entscheidung 
trägt in unsere komplizierte Frage .ein neues Mo- 
ment der Willkür. 

x 
Ei 3 Nachdem wir uns also die Voraussetzungen 
aw N . oe . 
| unserer naiven Frage klar gemacht haben, nämlich, 
if 
'  daf sie nur gestellt werden .kann tier Voraus- 
i 
23 setzung einer gewissen, verhältnismäßig konstan- 
f ten, physiologischen Konstitution und entsprechen- 
| den Lebensverhältnissen, daß sie abhängig ist von 
unserer mathematischen Nomenklatur, von unserer 
physikalischen Nomenklatur, von der verhältnis- 
mäßig willkürlichen Identifikation beider, endlich 
von der Genauigkeit unserer MeBwerkzeuge, die mit 
der Genauigkeit unserer Begriffe nicht immer 
Schritt hält, können wir schließlich uns klar 
machen, daß unsere so eingeschränkte Frage prin- 
zipiell beantwortbar ist. 














* Nach Riemann sind zur Bestimmung der Maß- 
verhältnisse einer n-fach ausgedehnten Mannig- 
faltigkeit en 
raus folet für den Raum, daß es zur Euklidizitat 
inreichend und notwendig ist, „daß das Krüm- 
_ mungsmaß in jedem Punkte in drei Flächenrich- 
ungen gleich Null ist, und es sind daher die Maß- 
| verhiltnisse des Raumes bestimmt, wenn die Win- 
2 ? kelsumme i im Dreieck sllenthalben gleich 2 R ist“. 
| i. DE Darauf beruht die berühmte, schon von Gauf ver- 
i suchte Ausmessung der Winkelsumme großer 
Jreiecke, wobei es für uns selbstvers ständlich ist, 
laß eine so gelieferte Aussage nur etwas aussagt 
we die Struktur des Raumes im Verhältnis zu 
 Lichtstrahlen — Geraden. Allgemeiner können wir 
sagen, daß es im Prinzip möglich sein muß, i 
ähnlicher Weise wie man die Erdoberfläche mit- 
tels kleiner als starr gedachter Maßstäbe geodätisch 
-ausgemessen hat, so den Raum geodätisch auszu- 
Funktionen des Ortes nötig. Da- 
Geiringer: Die nichtenklidschen, Geometrien und das Raumproblem. a, 

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messen. Es könnte sich da prinzipiell ergeben, 
daß unser Raum kein Euklidscher, ja nicht einmal 
ein Raum konstanter Krümmung ist. Freilich 
haben bisher durchgeführte astronomische und 
terrestrische Messungen keine merkliche Ab- 
weichung des Krümmungsmaßes von Null .er- 
geben. 
Was aber messen wir eigentlich auf alle diese 
Arten? Die Euklidsche oder nichteuklidache Struk- 
tur des Raumes? Die gibt es nicht, denn es gibt 
gar keinen Raum, abgesehen von der erfüllenden 
Materie. Der Raum an sich ist gewiß nichts an- 
deres als eine völlig formlose (dreidimensionale?) 
Manniefaltigkeit, die erst durch das erfüllende 
Material gestaltet wird. Diese Erkenntnis ist 
nicht etwa erst durch die Relativitätstheorie ent- 
deckt worden, sondern es waren schon 'Gauß, Rie- 
mann, Helmholtz, später Mach und Poincare jeden- 
falls dieser Meinung, nur ist die vage philoso- 
phische Anschauung erst durch Hinstein präzisiert 
und in einer bestimmten Richtung ausgebaut 
worden. Hier halten wir fest, daß ein leerer 
Raum, abgesehen vom erfüllenden materialen Ge- 
halt überhaupt keine Struktur hat. Wir können 
ihn ausmessen, wie wir wollen, ein erfüllter Raum 
aber hat keine Struktur, abgesehen von dem Er- 
füllenden, oder auch ,,es gibt keine Raumgeometrie 
losgelöst von der Physik“. (Über die Rolle der 
physikalischen und mathematischen Nomenklatur 
für diese Union haben wir schon gesprochen.) Dieser 
erfüllte Raum aber muß von Anfang an jedenfalls 
als ganz allgemeiner Riemannscher Raum mit 
variablem Krümmungsmaß angenommen werden. 
„Entscheidende Experimente sind aber erst dann 
möglich, wenn nicht nur die Geometrie, sondern 
auch die Physik im Euklidschen und im allgemei- 
nen Riemannschen Raum entwickelt ist.“1) Wir 
leugnen also, „daß die Metrik des Raumes von 
vornherein unabhängig von den physikalischen 
Vorgängen, deren Schauplatz er abgibt, festge- 
legt ist, und daß das Reale in diesem metrischen 
Raum wie in eine fertige Mietskaserne einziehe, 
sondern wir behaupten, daß der Raum an sich 
nichts weiter ist als eine völlige formlose drei- 
dimensionale Mannigfaltiekeit, und erst der er- 
füllende, materiale Gehalt ihn gestaltet und seine 
Maßverhältnisse bestimmt. Es bleibt die Aufgabe 
zu ermitteln, nach welchen Gesetzen dies ge- 
schieht.‘““) Denn da der erfüllende Gehalt sich 
mit der Zeit ändert, so wird auch die metrische 
Fundamentalform sich im Laufe der Zeiten än- 
dern. Die Gesetze aber, nach denen das raum- 
erfüllende Material die Metrik bestimmt, sind 
nach Einstein die Gravitationsgesetze, und die 
Koeffizienten 9;)„ der metrischen Fundamental- 
form lassen sich geradezu als „Gravitationspoten- 
tiale“ auffassen. Wir wollen zum Abschluß un- 
serer Ausführungen auf diese Einsteinsche Lösung 
des Raumproblems etwas näher eingehen. 
„Raum, Zeit, Materie“, 
1) Vel. Weyl 
Springer, 
über misemeiae Relativititstheorie, 
1918. 
Vorlesungen 
Berlin 
