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Verallgemeinerte Relativitatstheorie). 
In der Einsteinschen Relativitatstheorie gibt es 
-bekanntlich keine Lösung des Raumproblems losge- 
löst vom Zeitproblem. In der ,,vierdimensionalen 
Welt“ nun folgert Einstein in der speziellen Re- 
lativitätstheorie in bekannter Weise die Relativi- 
tät der Gleichzeitigkeit und somit die erste tief- 
gehende Modifikation unserer Ideen von Raum 
und Zeit. Aber noch in der speziellen Relativi- 
tätstheorie sind die Sätze der Geometrie unmit- 
telbar als die Gesetze über die möglichen relativen 
Lagen fester Körper deutbar, allgemeiner die Sätze 
der Kinematik als Sätze, welche das Verhalten 
von Meßkörpern und Uhren beschreiben. Hier ist 
das nicht mehr möglich, hier wird gefordert, daß 
eine beliebige Transformation der Raum- und 
Zeitmannigfaltigkeit der vierdimensionalen Welt 
keine Änderungen an den Gesetzen der Erschei- 
nungen bewirken darf. Dann aber sind die Koor- 
dinaten und die Zeit jeder physikalischen Gegen- 
ständlichkeit beraubt, denn jetzt sollen die Gesetze 
der Physik in allen, nicht nur in beliebigen aus- 
gezeichneten Bezugssystemen gelten. Die inneren 
Gesetzmäßigkeiten der Natur können nur dann 
wirklich innere sein, wenn sie vom Koordinaten- 
systeme im weitesten Sinne unabhängig sind. 
Hier haben wir mathematisch ganz dasselbe, wie 
in unserer Gaußschen Flächentheorie, auch dort 
konnten wir Flächentheorie unabhängige von Be- 
zugssystem studieren und „es waren alle Gauß- 
schen Koordinatensysteme für die Formulierung 
der allgemeinen Geometrie auf der Fläche prin- 
zipiell gleichwertig“. Eben das aber fordert Kin- 
stein für die allgemeine Formulierung der Natur- 
gesetze. Sollen diese unabhängie vom Koordi- 
natensystem sein, so wie die Gesetze der Fläche 
es waren, so muß sich für jedes Gebiet der Raum- 
Zeitwelt, in dem eine gewisse Gesetzmäßigkeit 
herrscht, ein charakteristisches ds angeben lassen, 
das eben für die „Weltmetrik“ in diesem Gebiete 
charakteristisch ist. Selbstverständlich muß es 
keine größeren zusammenhiingenden Gebiete kon- 
- stanter Weltmetrik geben, sondern im allgemeinen 
wird jeder „Punkt“ seine spezifische Metrik, sein 
bestimmtes ds, das für die Maßverhältnisse (in 
einer geeigneten Umgebung) charakteristisch ist, 
haben. Dieses vom ,,Punkt“ zu „Punkt“ vari- 
ierende ds kann im speziellen z. B. das Euklid- 
sche = parabolische sein, oder ein sphärisches oder 
ein hyperbolisches oder ein ovales oder ein noch viel 
komplizierteres. Jedenfalls wird es bestimmt durch 
die innere Gesetzmäßigkeit der Welt in diesem 
Punkte, so wie das Linienelement auf der Fläche 
durch die innere Gesetzmäßiekeit der Fläche, und 
nur durch diese bestimmt wird. Im speziellen 
*) Dieser Teil setzt einige Kenntnis der ver- 
allgemeinerten Relativitätstheorie voraus und bildet 
die Brücke zwischen populären Darstellungen dieses 
Gebiets und den vorhergehenden mathematischen 
Erörterungen; diese ermöglichen es uns, die Einstein- 
sche Lösung des Raumproblems nun auch vom mathe- 
matischen Gesichtspunkte aus, der sonst naturgemäß 
in populären Darstellungen zurücktritt, zu verstehen. 
% 
Geiringer: Die nichteuklidschen Geometrien und das Raumproblem. 
* 
wissenschaften 
fom Einstein bekanntlich durch die fundamen- ; | 
daß jede durch Bewegung des 
tale Forderung, 
Beobachters (Änderung des Bezugssystems) ent- 
stehende Änderung der Erscheinungen als Wir- ~ 
kung eines Gravitationsfeldes aufgefaßt werden 
könne, dazu, als charakteristisch für die Welt- 
of 
metrik in einem bestimmten Punkt die dort herr- 
schenden Gravitationskrafte anzusehen, oder, wie 
Weyl sich ausdrückt, wir können uns denken, dab 
in jedem Punkte (Bereich) ein bestimmtes ,,me- 
trisches . Feld“ herrscht, welches 
durch das Materielle, welches die Welt erfüllt. 
(In der speziellen Relativitätstheorie wird bezüg- 
lich der Weltmetrik bekanntlich die Annahme ge- 
macht, daß es spezielle Koordinatensysteme gibt, 
in welchen die metrische Fundamentsform ds? 
= SI gr daidax, konstante Koeffizienten hat.) Wir 
werden also die 4x in dem für jeden Punkt charak- 
teristischen ds als etwasReales betrachten. Bei der 
praktischen Messung können wir aber doch nur 
daran denken, daß sich das ds tatsächlich physi- 
kalisch ermitteln läßt; da wir es aber nicht an- 
ders bestimmen, als mit Lichtstrahlen und Maß- 
stäben, so müssen wir annehmen, daß sich der 
Einfluß des jeweiligen metrischen Feldes auf 
diese unsere Meßinstrumente äußert, daß also 
dieses metrische Feld ein jeweils ganz bestimmtes 
Verhalten von Lichtstrahlen und ‚‚starren“ Kör- 
pern bewirkt, welches außer durch die eigene Be- 
schaffenheit von Lichtstrahlen und Maßstäben be- 
stimmt wird durch das metrische Feld, „ebenso 
wie das Verhalten einer elektrischen Ladung nicht 
nur von ihr selbst, sondern auch von dem elektri- 
schen Feld abhängt“). 
Wir haben als Grundgesetze ungemein um- 
fassende und allgemeine (die die Trägheits- und 
Gravitationserscheinungen in gleicher Weise um- 
fassen und gegen beliebige Gaußsche Koordinaten- 
transformationen invariant sind); alle Unregel- 
mäßigkeiten, alles, was mit der spezifischen Natur 
des betreffenden Weltpunktes zusammenhängt, 
haben wir eben dorthin gewiesen, wo die physi- 
kalisch gegenständliche Interpretation ohnehin 
fehlte, in unseren Raumbegriff, so daß die Maß- 
verhältnisse jetzt nicht mehr auf Rechnung eines 
„Raumes als Form der Erscheinungen“ kommen, 
sondern eben in ihnen, die von Punkt zu Punkt 
variieren, ganz andere Dinge, nämlich die je- 
weilige Verteilung der Materie in der Welt sich 
spiegeln, so daß gerade der Raum, früher das 
Festeste, jede Eigenbedeutung verloren hat. 
Wie sich bei jeder noch so seltsam gekrümm- — 
ten Kurve ein unendlich kleines Stück derselben 
annähernd als Gerade auffassen läßt (Identifi- 
kation mit der Tangente), so auch bei einer 
Fläche, Raum usw., dem entspricht die von anderer 
Seite her durch physikalische Tatsachen nahege- 4 
legte Hypothese, daß die vierdimensionale Ent- 
fernung zweier unendlich naher Punkte eine meß- 
bare Größe sei, das bedeutet aber physikalisch die 
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