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| + Existenz starrer Maßstäbe und vergleichbarer 
' Uhren im“unendlich Kleinen. Dem entspricht 
aber wieder die Voraussetzung, daß bei passender 
 Koordinatenwahl für unendlich kleine vierdimen- 
7 sionale Gebiete die spezielle Relativitätstheorie 
= eilt, wobei der Beschleunigungszustand des klei- 
‘nen (lokalen) Koordinatensystems so zu wählen 
ist, daß ein Gravitationsfeld nicht auftritt. 4, 
Ns, X, seien die räumlichen Koordinaten, X, die 
zugehörige Zeitkoordinate. Diese Koordinaten 
haben unmittelbar physikalische Bedeutung, der 
Ausdruck ds? = — dAX?— dX2--dX2?+dX2 (1) 
hat dann nach der speziellen Relativitätstheorie 
einen von der Orientierung des lokalen Koordi- 
natensystems umabhängigen, durch Raum-Zeitmes- 
sung ermittelbaren Wert. Die Koordinatendiffe- 
_ rentiale dz; eines beliebig gewählten Bezugs- 
; systems werden nun mit denen des lokalen in 
der Beziehung stehen 
ANZ AB Fr oy aay sss, 
q AX yp AR +. + au PH, 
Setzt man diese Ausdrücke in (1) ein, so 
kommt man wieder auf unser allgemeines ds’ 
= I grdar dxi- Dabei sind die giz ‘Funktionen 
der x, die nicht mehr von der Orientierung und dem 
"Bewegungszustande des lokalen Koordinaten- 
systemes abhängen können, denn ds? war ja un- 
f abhängige von jedem besonderen Koordinaten- 
| system definiert. Der Spezialfall der gewöhn- 
lichen Relativitätstheorie (Analogon: der Euklid- 
schen Ebene) geht hervor, falls es möglich ist, in 
einem endlichen Gebiete das Bezugssystem so zu 
wählen, daß 91 = 99» = 932 = — Jag =+1 und alle 
anderen verschwinden. Nehmen wir nun an, das 
wäre in einem endlichen Gebiete möglich, dann 
bewegt sich ein freier materieller Punkt bezüg- 
lich eines so gewählten Systems geradlinig und 
gleichformig. Führt man nun durch eine belie- 
bige Substitution neue Raum-Zeitkoordinaten 
a,...%, ein, so werden in diesem neuen System 
die gx nicht mehr Konstante, sondern Raum-Zeit- 
” funktionen sein, und die Bewegung des freien 
_ Massenpunkts wird sich in den neuen Koordinaten 
als eine krummlinige, nicht gleichförmige dar- 
stellen. Nach dem allgemeinen Äquivalenzpostulat 
_ wird diese Bewegung als eine solche unter dem 
_ Einflusse eines Schwerefeldes aufgefaßt werden 
können, und sehen wir das Auftreten eines Gravi- 
lationsfeldes geknüpft an die raum-zeitliche Ver- 
dinderlichkeit der giz. Diese das Gravitationsfeld 
 bestimmenden zehn Funktionen beschreiben also 
zugleich das metrische Verhalten des, Maßraumes. 
ET 
er 
— 
| lich ist, in einem endlichen Gebiete die Gültigkeit 
„der speziellen Relativitätstheorie herbeizuführen, 
wollen wir an dieser Auffassung festhalten.) 
Sind wir im vorhergehenden von der logisch 
mathematischen Seite her auf die Ungiiltigkeit 
der Euklidschen Geometrie in Gravitationsfeldern 
| resp. in ungleichformig bewegten Systemen ge- 
führt worden, so wird uns dies durch folgende 
Einsteinsche Überlegung bestätigt. Versetzen wir 
* 

Geiringer: Die nichteuklidschen Geometrien und das Raumproblem. 
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eine Scheibe in gleichférmige Rotation und be- 
trachten einen auf dieser Scheibe um das Rota- 
tionszentrum gezogenen Kreis, so hat sein Radius 
den gleichen Wert, ob ich ihn mittels ruhender 
oder mitbewegter Maßstäbe ausmesse, denn die 
Bewegungsrichtung ist stets normal zu der Meb- 
richtung. Hingegen ergibt sich für die Kreis- 
peripherie, mittels der mitbewegten Maßstäbe aus- 
gemessen, vom ruhenden System aus beurteilt ein 
erößerer Wert, da der jeweilige Einheitsmaßstab 
infolge der Lorentz-Kontraktion „weniger aus- 
gibt“, ich ihn daher öfter anlegen muß. Da aber 
der Radius unabhängige vom Bewegungszustand 
gleich r war, so ist p+2ra. Wir sehen hier zu- 
gleich eine einfache Illustration der Variabilität 
der Weltmetrik, denn wenn wir das Rad in stär- 
kere oder s&hwächere Rotation versetzen, so wird 
die Geometrie auf ihm bald mehr ‘bald minder 
von der Euklidschen abweichen. 
In diesen Erscheinungen haben wir aber nach 
dem Einsteinschen Aquivalenzprinzip von be- 
schleunigter Bewegung und Gravitationswirkung 
nicht ‘die Wirkung einer absoluten Rotation zu 
erblicken, die es nicht gibt, sondern des durch 
seine Komponenten 9;, charakterisierten, von der 
Gravitation abhängigen metrischen Feldes. 
Wollen wir eine ähnliche Überlegung nicht in- 
direkt für das der Rotation äquivalente Gravi- 
tationsfeld, sondern direkt für dieses anstellen, so 
werden wir unsere schon oben angestellte Ver- 
mutung über den Einfluß des Gravitationsfeldes 
auf unsere Uhren und Maßstäbe bestätigt finden. 
Es würde sich eine Verkürzung des Einheitsmaß- 
stabes in bezug auf das. Koordinatensystem im 
Schwerefeld bei radialer Anlegung gegenüber der 
tangentiellen ergeben. Prinzipiell müßte diesen 
Verhältnissen auch bei den oft besprochenen ,,geo- 
dätischen“ Messungen Rechnung getragen werden. 
Es kann hier nicht unsere Sache sein, auch 
nur in den gröbsten Zügen auf die allgemeine 
Relativitätstheorie einzugehen. Wir hatten nur 
die spezifische Lösung des Raum-Zeitproblems an- 
zudeuten, die darin gipfelt, daß in jedem Punkte 
der Welt eine durch das metrische Feld be- 
stimmte, im allgemeinen nichteuklidsche Geome- 
trie herrscht. Sagt nun diese Theorie etwas über 
den Zusammenhang der Geometrien im großen? 
Denken wir an das uns geläufigste zweidimen- 
sionale Gebiet unserer Erde. Auch sie ist im 
eroßen und ganzen eine Kugel (Ellipsoid), aber 
auf ihr erheben sich Berge und Hügel und finden 
sich die verschiedensten Unebenheiten. Eine ge- 
naue geodätische Ausmessung in jedem Punkte 
würde uns nur den jeweiligen Hügel, Tal oder 
noch weniger erkennen lassen. Wir müßten erst 
eine Vermessung im großen vornehmen, um zur 
Gesamtkonzeption des „kugelartigen Zusammen- 
hanges im großen“ zu kommen (sofern wir den 
nicht aus anderen Quellen kennen). So auch 
hier: Die Kenntnis des metrischen Feldes in 
jedem einzelnen Weltpunkt, wie es durch die Gra- 
vitationskräfte erzeugt wird, sagt uns noch nichts 
