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Heft 4. | 
28. 1. 1916 
Besprechungen. 
Timerding, H. E., Die Analyse des Zufalls. Saramlung: 
Die Wissenschaft, Bd. 56. Braunschweig, Fr. Vie- 
weg & Sohn, 1915. IX,168 und 10 Abbildungen. Preis 
geh. Mk. 5,—, geb. Mk. 5,80. 
Das vorliegende Buch ist im wesentlichen eine kri- 
tische Studie. Daher darf der Leser kein Lehrbuch 
der Wahrscheinlichkeitsrechnung erwarten, und es 
scheint mir nötig zu betonen, daß man die Lektüre nur 
denen empfehlen soll, die mit den mathematischen 
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung bereits 
vertraut sind. Den Neuling könnte sonst die Fülle der 
zitierten und kritisierten Meinungen leicht verwirren 
und abschrecken. 
Der erste Teil des Buches ist begrifflichen Hrérte- 
rungen gewidmet, der zweite Teil bringt die mathemati- 
schen Entwicklungen in leicht verständlicher Form. 
Ein Überblick über den Inhalt sei im folgenden 
gegeben. 
Wenn wir die sogenannten Zufallsereignisse analy- 
sieren wollen, so müssen wir zwei Fragen zuerst beant- 
worten. Erstens: Welche Ereignisse nennen wir zu- 
fällig? Zweitens: Welche Mittel besitzen wir zu ihrer 
Analyse? 
Der Betrachtung der ersten Frage ist das einlei- 
tende Kapitel gewidmet, das den Begriff des Zufalls zu 
klären sucht. 
Wie ist der Zufall, als der direkte Gegensatz der 
Gesetzmäßigkeit, in einem Weltbilde möglich, das den 
kausalen Zusammenhang alles Geschehens fordert? Ist 
der Zufallsbegriff nur subjektiv zu fassen, indem man 
ihn auf die Unvollkommenheit unserer Erkenntnis zu- 
rückführt? Diese Fragen sind es, die der Verfasser 
aufwirft und eingehend diskutiert. Er kommt dabei zu 
dem Schlusse, daß wir trotz des Kausalitätsprinzips 
gewisse Ereignisse ohne Zweifel als zufällig bezeichnen 
dürfen, nämlich dann, wenn wir selbst auf Grund aller 
uns möglichen ursächlichen Bestimmungen von vorn- 
herein nicht entscheiden können, ob das Ereignis ein- 
treten wird oder nicht. 
Wollen wir nun Zufallsereignisse näher studieren, 
so müssen wir uns ein typisches Beispiel herausgreifen. 
Solche typisch zufälligen Ereignisse finden wir bei den 
Glücksspielen verwirklicht, als deren Vertreter wir das 
Wiirfelspiel oder das Ziehen verschiedengefiirbter 
Kugeln aus einer Urne ansehen können. - 
Die zweite Hauptfrage lautet jetzt: Wie können 
wir über die Zufallsereignisse etwas Näheres aussagen? 
Zwei Methoden stehen uns zu Gebote: irstens die 
genetische Methode, die einen Mechanismus konstru- 
iert, aus dem das beobachtete Zufallsereignis folgt, die 
also eine innere Erklärung des Zufalls liefern will; 
zweitens die statistische Methode, welche die bei der 
Zählung als gleichartig erkannten Ereignisse einfach 
zusammenstellt, ohne auf ihr Zustandekommen einzu- 
gehen. Die zweite statistische Methode geht also 
gleichsam nur von der empirischen Zahlentabelle aus, 
um aus ihr weitere han des gesamten Zahlen- 
Methode ist es, die 
zum Ziele, in 
Diese 
sichersten Weg 
materials abzuleiten. 
Timerding, als den 
}seinem Buche bevorzugt. 
Der erste Schritt, der vom Qualitativen zum Quan- 
titativen führt, ist der, daß wir zählen, wie oft in einer 
Reihe zufälliger Ereignisse ein ganz bestimmtes Er- 
eignis eintritt, also etwa, wie oft, wenn wir tausend- 
mal mit einem Würfel würfeln, die Zahl Eins fällt. 
Der Quotient dieser Anzahl durch die Anzahl aller Er- 
eignisse in der Reihe heißt die relative Häufigkeit des 
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bestimmten Ereignisses. Betrachtet man mehrere Er- 
eignisreihen, bildet jedesmal die relative Häufigkeit 
eines bestimmten Ereignisses und trägt diese Zahlen in 
eine Tabelle ein, so kann die so entstehende Zahlen- 
reihe systematische Veränderungen zeigen oder sie kann 
regellos um einen Mittelwert schwanken, das heißt, eine 
stationäre Reihe sein. Die Analyse solcher stationären 
Reihen, wie sie zum Beispiel die Messungsreihen be- 
stimmter physikalischer Größen darstellen, ist eine 
Hauptaufgabe der statistischen Methode. Dieser 
Methode liegt zugrunde das bekannte @esetz der großen 
Zahlen, das heißt, die empirisch festgestellte Tatsache, 
daß, wenn man die aus vielen Versuchsreihen sich er- 
gebenden Werte der relativen Häufigkeiten eines be- 
stimmten Ereignisses als Zahlenreihe einträgt, man eine 
angenäherte Konstanz dieser statistischen Verhältnis- 
zahlen erhält, vorausgesetzt, daß die Bedingungen bei 
den verschiedenen Versuchsreihen dieselben waren. Mit 
der Erklärung und dem Beweis dieses Gesetzes, das der 
Jnabhiingigkeit der einzelnen Ereignisse zum Trotz, 
durch eine Art Ausgleich, die Regellosigkeit des Einzel- 
falles eliminiert und die Gesetzmäßigkeit der Gesamt- 
heit fordert, haben sich die Philosophen und Wahr- 
scheinlichkeits-Theoretiker vielfach beschäftigt. Hat 
man erst einmal die Wahrscheinlichkeit eines Ereig- 
nisses, das heißt das Maß der subjektiven Erwartung 
für sein Eintreten, zahlenmäßig festgelegt und außer- 
dem definiert, welche Fälle man als gleichmöglich zu 
betrachten hat, so kann man auf Grund mathematisch- 
strenger Deduktionen den Bernouillischen Satz ableiten, 
welcher aussagt: Wenn in einer Ereignisreihe die Zahl 
der Ereignisse hinreichend groß ist, so können wir mit 
einer der Gewißheit beliebig nahen Wahrscheinlichkeit 
erwarten, daß die relative Häufigkeit eines bestimmten 
Ereignisses gleich seiner Wahrscheinlichkeit wird. 
Man hat aus diesem Satze häufig irrtümlicherweise 
geschlossen, daß bei hinreichender Zahl von Ereig- 
nissen die beobachtete relative Häufigkeit eines be- 
stimmten Ereignisses angenähert gleich seiner Wahr- 
scheinlichkeit wird, und daß daher bei verschiedenen 
Versuchsreihen angenähert dieselben Werte der rela- 
tiven Häufigkeiten auftreten. Der Bernouillische Satz 
aber sagt nur etwas aus über unsere Erwartung des 
Wertes der relativen Häufigkeit, dagegen kann er über 
die beobachtete Tatsache kein Urteil abgeben. Daher 
kann auch die empirisch festgestellte angenäherte Kon- 
stanz der statistischen Verhältniszahlen in verschie- 
denen Versuchsreihen, also das Gesetz der großen Zah- 
len, nicht auf deduktivem Wege aus dem Bernouilli- 
schen Theorem erschlossen werden. Um also die em- 
pirisch-statistische Methode möglichst rein zur Geltung 
zu bringen und den subjektiv gefärbten Wahrschein- 
lichkeitsbegriff möglichst zu eliminieren, stellt Timer- 
ding das Gesetz der großen Zahlen als unbeweisbare 
Tatsache an die Spitze. 
Dies ist im wesentlichen der Inhalt der fünf ersten 
begrifflich-kritischen Kapitel. Der Inhalt der zweiten 
Hälfte des Buches, die der mathematischen Analyse ge- 
widmet ist, kann hier natürlich nur in kurzen Andeu- 
tungen dargestellt werden. 
Ist uns eine stationäre Zahlenreihe 
können wir aus ihr sofort eine Verteilungsreihe ab- 
leiten, indem wir die Zahlen ihrer Größe nach ordnen, 
das ganze Zahlengebiet in bestimmte Intervalle teilen, 
und fragen, wie viele Zahlenwerte in ein bestimmtes 
Intervall fallen. Bei hinreichender Dichte der Zahlen- 
werte erhält man so eine stetige Verteilungskurve. 
Charakteristisch für derartige Zahlenreihen sind vor 
allem ihr Mittelwert und, als ein Maß für die Schwan- 
gegeben, so 
