


Heft 26. poe 
30. 6. 1916 
nicht ausführbar sind, sondern nur ausführbar 
gedacht werden, so z. B., wenn man von dem Ab- 
stande des Mondes von der Erde spricht und ihn 
in Metern ausdrückt, wie wenn es wirklich mög- 
lich wäre, durch fortgesetztes Anlegen eines Me- 
terstabes ihn auszumessen. Mit diesem Hilfsmit- 
tel der Analysis haben wir den Bereich exakter 
wissenschaftlicher Forschung weit über den uns 
tatsächlich zugänglichen Meßbereich ausgedehnt, 
und zwar sowohl nach der Grenze des Unmeßbar- 
Großen wie des Unmeßbar-Kleinen hin. Wir haben 
uns damit zugleich eine symbolische Darstellung 
geschaffen, die frei von zufälligen und ausge- 
sprochen anthropomorphen Fesseln die Vorgänge 
in ihrer Abhängigkeit von den verschiedenartigen 
Messungen, wie z. B. den Raum- und Zeitmessun- 
gen, wiedergibt. Die Schaffung geeigneter mathe- 
matischer Ausdrücke, die als Symbole für be- 
stimmte physikalische Meßgrößen, wie z. B. Länge 
eines Stabes, Volumen eines Würfels usw., einge- 
setzt werden können, um dann der Analysis 
® gleichsam alle Verantwortung für die weiteren 
Folgerungen zu überlassen, ist nun ein Grund- 
problem der theoretischen Physik und steht in eng- 
ster Beziehung zu den beiden Forderungen, von 
denen wir zu Anfang sprachen. Um das einzu- 
schen, muß man auf Riemanns Habilitations- 
schrift aus dem Jahre 1854 ‚Über die Hypothe- 
sen, welche der Geometrie zugrunde liegen“ zu- 
rückgehen. In ihr weist Riemann fast prophe- 
tisch auf die Wege hin, die Hinstein jetzt beschrit- 
ten hat. ’ 
Jeder Punkt im Raume ist durch drei Zahlen 
&ı, V2, #3, die wir z. B. als die Maßzahlen eines 
rechtwinkligen Koordinatensystems auffassen kön- 
nen, eindeutig unter allen übrigen Punkten aus- 
gezeichnet; durch kontinuierliches Verändern die- 
ser drei Zahlen kann man alle Raumpunkte erhal- 
ten. Das System der Raumpunkte stellt, wie man 
sich ausdrückt, eine „mehrfach ausgedehnte 
Größe“ (Manniefaltigkeit) dar, zwischen deren 
einzelnen Elementen (Punkten) ein kontinuier- 
licher Übergang möglich ist. Wir kennen noch an- 
dere kontinuierliche „Mannigfaltigkeiten“, z. B. das 
System der Farben, das System der Töne u. a. m. 
Ihnen allen ist gemein, daß die Festlegung eines 
Elementes innerhalb der gesamten Mannigfaltig- 
keit (eines bestimmten Punktes, einer bestimmten 
Farbe, eines bestimmten Tones) eine charak- 
teristische Zahl von Größenangaben erfordert; 
diese. Zahl nennt man die Dimension der 
betreffenden Mannigfaltigkeit. Sie beträgt für 
den Raum „drei“ (für die Fläche „zwei“, für die 
Linie „eine“). Auch das System der Farben ist 
_ eine kontinuierliche Mannigfaltigkeit der Dimen- 
sion „drei“, entsprechend der Dreizahl der Grund- 
farben Rot, Grün, Violett, durch deren Zusammen- 
mischung jede Farbe hergestellt werden kann. 
Mit der Annahme des stetigen Überganges von 
einem Element zu einem andern innerhalb dersel- 
ben Mannigfaltigkeit und mit der Angabe ihrer 
Dimension ist aber über die Möglichkeit der Ver- 
Freundlich: Die Grundlagen der Einsteinschen Gravitationstheorie. 
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gleichung verschiedener, gegeneinander abgegrenz- 
ter Teile der betreffenden Mannigfaltigkeit, d. h. 
über die in ihr geltenden „Maßverhältnisse“, noch 
nichts ausgesagt; vielmehr müssen hierfür erst 
der Erfahrung Tatsachen entnommen werden, um 
für die jeweilig vorliegende Mannigfaltigkeit 
(Raumpunkte, Farben, Töne) die physikalisch 
gültigen Maßgesetze aufzustellen; diese werden 
also, je nachdem welche Erfahrungstatsachen dazu 
herangezogen werden, verschieden ausfallen 
können. 
Im Raum ist die Erfahrungstatsache der freien 
Beweglichkeit endlicher starrer Punktsysteme und 
der daraus abgeleitete Begriff der ,,Kongruenz“ 
das befruchtende Moment für eine Mab- 
bestimmung geworden!). Dadurch werden 
wir vor die Aufgabe gestellt, aus den 
1) Die freie Beweglichkeit endlicher starrer 
Körper läßt sich am anschaulichsten im Gebiete 
des Zweidimensionalen erläutern. Denken wir uns auf 
einer Kugel oder Ebene je ein Dreieck gezeichnet, auf 
ersterem durch Bögen größter Kreise begrenzt, auf der 
Ebene durch gerade Linien, so kann man diese Drei- 
ecke längs beider Oberflächen nach Belieben verschie- 
ben und kann sie mit anderen zur Deckung bringen, 
ohne daß sich dabei die Längen der Seiten und die 
Winkel veränderten. Dies ist, wie G@auß nachgewiesen 
hat, möglich, weil die Krümmung an jeder Stelle der 
Kugel bzw. Ebene den gleichen Betrag hat, wie an 
jeder anderen Stelle. Und doch ist die Geometrie auf 
der Kugel eine andere als die auf der Ebene, weil 
diese beiden Gebilde nicht ohne Zerrung aufeinander 
abwickelbar sind. Auf beiden lassen sich die planimetri- 
schen Figuren frei bewegen, und es gelten infolgedessen 
auf ihnen Kongruenzsätze. Bestimmte man dahingegen 
auf irgendeiner eiförmigen Fläche ein Dreieck durch die 
drei kürzesten Verbindungslinien dreier Punkte auf 
ihr, so käme zutage, daß an verschiedenen Stellen dieser 
Oberfläche sich Dreiecke mit gleichen Seitenlängen 
zwar konstruieren lassen; dieselben schließen jedoch 
andere Winkel als die entsprechenden Seiten 
des Ausgangsdreiecks ein, und infolgedessen wären 
solche Dreiecke mit gleichen Seitenlängen nicht kon- 
gruent. Auf einer eiförmigen Fläche sind also die 
Figuren nicht ohne Dimensionsänderung verschiebbar, 
und man gelangt bei dem Studium der geometrischen 
Verhältnisse auf ihr nicht zu Kongruenzsätzen der be- 
kannten Art. Ganz analoge Betrachtungen lassen sich 
im Drei- und Vierdimensionalen anstellen, aber natür- 
lich nicht veranschaulichen. Verlangen wir, daß im 
Raum die Körper ohne Dimensionsänderungen frei be- 
weglich sein sollen, so muß die „Krümmung“ des Rau- 
mes an jeder Stelle die gleiche sein. Der Begriff der 
Krümmung einer mehr als zweidimensionalen Mannig- 
faltigkeit läßt sich dabei mathematisch streng formu- 
lieren; die Bezeichnung weist nur auf ihre analoge 
Bedeutung, wie sie dem Begriffe der Krümmung einer 
Fläche zukommt, hin. Auch im Dreidimensionalen 
lassen sich verschiedene Fälle unterscheiden, wie die 
der Kugel oder Ebene im Zweidimensionalen. Der 
Kugel entspricht ein nichteuklidischer Raum konstanter 
positiver Krümmung, der Ebene der euklidische Raum 
der Krümmung Null. In beiden Räumen lassen sich 
die Körper ohne Dimensionsänderung frei bewegen; 
aber der euklidische Raum ist zugleich unendlich aus- 
gedehnt, während der ‚„sphärische“ Raum zwar un- 
begrenzt, wie die Oberfläche der Kugel, aber nicht un- 
endlich ausgedehnt ist. Man findet diese Fragen in 
dem. bekannten Aufsatz von Helmholtz „Über den 
Ursprung .und die Bedeutung der geometrischen 
Axiome“ (Vorträge und Reden Bd. 2, S. 1) außerordent- 
lich schön und ausführlich dargestellt. 
