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Zahlen x1, 25,23 und a, Az, 22 + A xe, a3 + A 23, 
welche zwei bestimmte Punkte im Raum be- 
zeichnen, einen mathematischen Ausdruck zu 
bilden, der als Maß für ihren gegenseitigen 
starren Abstand angesehen und als solcher 
in die Formeln für die Naturgesetze ein- 
geführt werden kann. In den Naturgesetzen tre- 
ten nun, wenn sie Differentialgesetze sind, was 
wir auf Grund des Prinzips, der  ,,Kon- 
tinuität“, fordern, nur die Abstände unendlich be- 
nachbarter Punkte, sog. Linienelemente, auf. Wir 
haben darum zu fragen, ob unsere beiden Forde- 
rungen auf den analytischen Ausdruck für das 
Linienelement irgendwie von Einfluß. sind und 
welcher analytische Ausdruck für dasselbe mit 
beiden verträglich ist. Riemann verlangt, dab 
jedes Linienelement seiner Länge nach unabhän- 
gig von Ort und Richtung mit jedem anderen 
verglichen werden kann; dies ist ein charakte- 
ristisches Merkmal der Maßverhältnisse im Raum. 
(Er formuliert diese Forderung mit den Worten, 
„daß die Linien unabhängig von der Lage eine 
Länge besitzen und jede Linie durch eine andere 
meßbar sein soll“) Er findet: bezeichnen a, 
Xe, x3 bzw. 11+ dx, + dx, x3 + dx; zwei un- 
endlich nahe Raumpunkte und die kontinuierlich 
veränderlichen Zahlen «1, x2, v3 irgendwelche Ab- 
messungen (nicht etwa speziell geradlinige Ko- 
ordinaten), so besitzt die Quadratwurzel aus einer 
ständig positiven, ganzen, homogenen Funktion 
zweiten Grades der Differentiale da, da», di; 
alle Eigenschaften, welche das Maß für die Länge 
des Linienelementes aufweisen muß. Man wird 
also in dem Ausdruck: 
ds=/gyn dey + 12, d x +... 493423; 
in welchem die Koeffizienten g,, stetige Funk- 
tionen der drei Veränderlichen &;, x, x3 sind, ein 
solches Maß für die Länge des Linienelements im 
Punkte 21, v2, &; besitzen. In demselben ist über 
die Art der Ausmessung des Raumes durch die 
drei Veränderlichen 1, 2, x; überhaupt keine 
Voraussetzung gemacht. Fordert man jedoch spe- 
ziell, daß ein jeder Punkt durch rechtwinklige 
Cartesische Koordinaten x, y, z festgelegt werden 
kann, so nimmt der Ausdruck für das Linien- 
element in diesen speziellen Veränderlichen die 
Gestalt 


ds=Vdae?+tdytd2 
an. Dieser Ausdruck ist bisher stets als Maß fiir 
die Länge des Linienelementes in alle physikali- 
schen Gesetze eingeführt worden, da es die Ver- 
wendung der Gesetze der euklidischen Geometrie . 
für alle Raummessungen zuläßt. Er beruht aber, 
wie insbesondere Helmholtz!) eingehend diskutiert 
hat, auf der Hypothese, daß endliche starre Punkt- 
systeme, also endliche starre Abstände, im Raume 
1) Helmholtz, Über die tatsächlichen Grundlagen der 
Geometrie, Wiss. Abh. 2, S. 610 und Über die Tatsachen, 
welche der Geometrie zugrunde liegen, Wiss. Abh. 2, 
S. 618. 

Freundlich: Die Grundlagen der Einsteinschen Gravitationstheorie. 
[ Die N Se ' 
frei beweglich sind und mit anderen (kongruenten) 2 
Punktsystemen zur Deckung gebracht werden kon- | 
nen (s. vorige Fußnote). 
insofern inkonsequent, als sie Aussagen über 
endliche Abstände in reine Differentialgesetze, 
denen nur Linienelemente auftreten, 
An sich stünde uns aber jeder- 
zeit frei, die bisherigen Voraussetzungen, 
welche dem Linienelement die 
Gestalt zu erteilen erlauben, beizubehalten, so- 
lange man eben nur die erste der beiden obigen 
Forderungen (Kontinuität) im Auge behält. Diese 
Voraussetzungen besagen, daß die Veränderlichen 
(xı, aw, 23) jederzeit so wählbar sind, daß die 
Koeffizienten guy (u, v=1, 2, 3) des Linien- 
elementes von ihnen unabhängige Konstanten wer- 
den; in die Gestalt von Differentialausdriicken’) 
gebracht, hätte man dieselben dann als ständig er- 
füllte Voraussetzungen an die Spitze aller Be- 
trachtungen zu setzen. Wie die Riemannschen 
Entwicklungen zeigen, handelt es sich hierbei um 
eine Reihe recht komplizierter Relationen, und es 
erscheint darum sehr fraglich, ob man dieselben in 
der Natur tatsächlich immer und überall erfüllt 
finden wird. 
Anders stellt sich die zweite Forderung, die- 
jenige der ARelativität aller Bewegungen, zu 
der oben erwähnten Alternative gegenüber 
dem Ausdruck für das Linienelement: Nach dem 
Prinzip der Relativität aller Bewegungen müssen 
alle Systeme, die durch Relativbewegungen der 
Körper gegeneinander zustande kommen, als völ- 
lig gleichberechtigt gelten können. Die Natur- 
gesetze müssen also beim Übergange von einem 
solchen System zu einem andern ihre Gestalt be- 
in 
führt. 
wahren; d. h. die diesen Übergang bewerkstelli- 
genden Transformationen der Veränderlichen 
(v1, x2, 23) in andere dürfen den analytischen 
Ausdruck für das betrachtete Natur az nicht 
verändern. 
(Streng genommen müßte ich schon hie vor- 
wegnehmen, daß die obigen Überlegungen in 
durchsichtiger Weise verallgemeinert eigentlich 
auch für die vierdimensionale Raum-Zeit-Mannig- 
faltigkeit gelten, in der sich ja in Wahrheit 
alle Vorgänge abspielen, und die Transforma- 
tionen sich auf die vier Veränderlichen derselben 
beziehen. Bei diesen allgemein gehaltenen Über- 
legungen hat jedoch die Vernachlässigung der 
vierten Dimension nichts zu besagen. Eine Be- 
eründung dieses Umstandes folgt Abschnitt 2b.) 
Da wir mit allen möglichen Relativbewe- 
gungen der Körper gegeneinander rechnen müs- — 
sen, so wird das allgemeine Prinzip der Relativi- 
tät verlangen, daß die Naturgesetze und damit 
auch das in ihnen auftretende Linienelement be- 
liebigen Transformationen der Veränderlichen ge- 
genüber invariant sind, d. h. ihre Gestalt bewah- 
1) S. A. Einstein, Die formalen Grundlagen der 
allgemeinen Relativitätstheorie, Sitz.-Ber. d. Kgl. Pr. 
Akad. d. Wiss. 1916, XLI, S. 1080. 
wissenschaf ten 
Vom Standpunkt der — 
Forderung der Kontinuität ist diese Hypothese 
euklidische 
ein- aay 

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