



Heft 26. | 
30. 6. 1916 
ren. Dieser Forderung wird nun in der Tat das 
allgemeine Linienelement 
ds =Vgy dx + gyda, dao+...+ god ay? 
gerecht. In ihr war auch über die Ausmessung des 
aumes durch die Veränderlichen 2, &s, x; keine 
Beschrankung irgendwelcher Art gemacht worden. 
Das euklidische Lintenelement 
ds=/da?+dy+d2 


bewahrt seine Gestalt dagegen nur bei den Trans- 
-formationen der speziellen Relativitätstheorie, die 
ihren Geltungsbereich lediglich auf gleich- 
formig gegeneinander bewegte Systeme be- 
schränkt. Die Erfahrung lehrt uns jedoch 
täglich, daß sich die Körper infolge ihrer 
Gravitationswirkung ständig in beschleunigter 
Bewegung gegeneinander befinden. Die Relativität 
aller Bewegungen ist demgemäß mit den Voraus- 
setzungen der euklidıschen Maßbestimmung in 
den Differentialgesetzen der Physik nicht zu 
vereinen. 
Die Annahme des allgemeinen Ausdruckes: 
3 
dig? = Sg d Ku d a, 
1 
als Maß fiir die Länge des Linienelementes 
in den Naturgesetzen ist trotz seiner gro- 
ßen Allgemeinheit doch als eine Hypothese 
aufzufassen, wie schon Riemann ausdrücklich 
hervorhebt. Denn auch andere Funktionen 
der Differentiale da, dae, da3, z. B. die vierte 
Wurzel aus einem homogenen Differential- 
-ausdruck vierter Ordnung derselben, könnten ein 
Maß für die Länge des Linienelementes abgeben. 
Dieser Ausdruck würde aber z. B. keine geo- 
metrische Interpretation gestatten, was bei dem 
Ausdruck 
ds? = gid #7 + gig dd x +... +493d%? 
moglich ist, den man als allgemeinen Fall des 
pythagoreischen Lehrsatzes auffassen kann. Jeden- 
falls liegt zurzeit kein Anlaß vor, diesen einfach- 
sten allgemeinen Ausdruck für das Linienelement 
um komplizierterer Ausdrücke willen zu verlassen. 
Im Rahmen der beiden Forderungen, welche wir 
den Beschreibungen der Naturvorgänge auf- 
erlegen, erfüllt derselbe alle Anforderungen, die 
zu stellen sind. Immerhin darf nie vergessen 
werden, daß in der Wahl des analytischen Aus- 
druckes für die Länge des Linienelementes stets 
Hypothetisches enthalten ist, und daß es Auf- 
gabe der Physik ist, dieser Tatsache jederzeit vor- 
) urteilslos gegenüberzustehen. Riemann beschließt 
darum auch seine Schrift mit folgenden, jetzt 
besonders bedeutsam wirkenden Sätzen: 
„Die Frage über die Gültigkeit der Voraus- 
| setzungen der Geometrie im Unendlichkleinen 
hängt zusammen mit der Frage nach dem inneren 
Grunde der Maßverhältnisse des Raumes. Bei 
Nw. 1916. 
Freundlich: Die Grundlagen der Einsteinschen Gravitationstheorie. 367 
dieser Frage, welche wohl noch zur Lehre vom 
Raume gerechnet werden darf, kommt die obige 
Bemerkung zur Anwendung, daß bei einer dis- 
kretent) Mannigfaltigkeit das Prinzip der Maß- 
verhältnisse schon in dem Begriffe dieser Mannig- 
faltigkeit enthalten ist, bei einer stetigen aber 
anderswoher hinzukommen muß. Es muß also 
entweder das dem Raume zugrunde liegende Wirk- 
liche eine diskrete Mannigfaltigkeit bilden oder 
der Grund der Maßverhältnisse außerhalb, in dar- 
auf wirkenden Kräften, gesucht werden. 
Die Entscheidung dieser Fragen kann nur ge- 
funden werden, indem man von der bisherigen, 
durch die Erfahrung bewährten Auffassung der 
Erscheinungen, wozu Newton den Grund gelegt, 
ausgeht und diese, durch Tatsachen, die sich aus 
ihr nicht erklären lassen, getrieben, allmählich 
umarbeitet; solche Untersuchungen, welche, wie 
die hier geführte, von allgemeinen Begriffen aus- 
gehen, können nur dazu dienen, daß diese Arbeit 
nicht durch Beschränktheit der Begriffe gehin- 
dert und der Fortschritt im Erkennen des Zu- 
sammenhanges der Dinge nicht durch überlieferte 
Vorurteile gehemmt wird. 
Es führt dies hinüber in das Gebiet einer an- 
deren Wissenschaft: in das Gebiet der Physik, 
welches wohl die Natur der heutigen Veranlassung 
nicht zu betreten erlaubt.“ 
Also: nach Riemanns Auffassung werden diese 
Fragen entschieden, wenn man von der Newton- 
schen Auffassung der Erscheinungen ausgeht und 
sie, durch Tatsachen, die sich bisher aus ihr nicht 
erklären lassen, getrieben, allmählich umarbeitet. 
Das ist es, was Einstein getan hat. Die „binden- 
den Kräfte“, auf die Riemann hinweist, werden 
wir in der Tat in der Einsteinschen Arbeit wieder- 
finden. Wie wir im vierten Abschnitte sehen wer- 
den, fußt nämlich die Einsteinsche Theorie der 
Gravitation in der Auffassung, daß die Gravi- 
tationskräfte die ‚„bindenden Kräfte“, also den 
„inneren Grund der Maßverhältnisse“ im Raume 
darstellen. S 
2b. 
Festsetzung eines Maßstabes für den starren Ab- 
stand zweier unendlich benachbarter Punkte in 
der vierdimensionalen Mannigfaltigkeit der Raum- 
Zeit-Punkte. 
Die Fragen der Maßverhältnisse, die wir bei 
der Formulierung der Naturgesetze zugrunde legen 
sollen, hätte man gleich mit Rücksicht auf die 
vierdimensionale Mannigfaltigkeit der Raum-Zeit- 
Punkte behandeln können, da nach den Ergeb- 
nissen der speziellen Relativitätstheorie die Zeit- 
messung genau so in die Naturgesetze eingeht wie 
die Raummessung. Ich möchte aber trotzdem die 
Frage der Zeitmessung gesondert behandeln, ein- 
4) Unter einer diskreten Mannigfaltigkeit versteht 
man eine Mannigfaltigkeit, bei welcher zwischen den 
einzelnen Elementen kein stetiger Übergang möglich 
ist, sondern jedes Element gewissermaßen ein selbstän- 
diges Individuum darstellt. 
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