Kurvenscharen gedeutet werden, die die Fläche 
netzartig überziehen. Von diesem Gesichtspunkte 
aus gesehen sind z. B. ein Zylindermantel und eine 
' Ebene nicht als verschiedenartige Gebilde zu be- 
trachten, denn beide können ohne Dehnung auf- 
einander abgewickelt werden, und auf beiden hat 
demgemäß die gleiche Planimetrie Gültiekeit, ein 
Kriterium dafür, daß die inneren Maßverhält- 
| nisse auf diesen beiden Mannigfaltigkeiten die 
- gleichen sind. — Auf die nämliche Aufgabe führt 
nun das Studium der inneren Maßverhältnisse der 
vierdimensionalen Raum-Zeit-Manniefaltigkeit in 
der allgemeinen Relativitätstheorie. Da die vier 
Raum-Zeit-Veränderlichen 21, a2, x3, x, jeder spe- 
ziellen physikalischen Bedeutung bar nur als vier 
‘Parameter aufzufassen sind, wird man natur- 
vemäß eine Darstellungsmethode für die Natur- 
gesetze wählen, welche von der zufälligen Wahl 
| der a1, x2, v3, x, unabhängige Differentialgesetze 
liefert. _ Das leistet nun der absolute Differential- 
kalkül. 
Dem zweiten und wichtigsten Teil der Theorie 
Fällt die Aufgabe zu, aus der gegebenen Verteilung 
der das Gravitationsfeld erregenden Faktoren die 
„Gravitationspotentiale“ g,, abzuleiten und die 
tatsächliche Übereinstimmung der durch Einsteins 
Ansatz dargestellten Bewegung mit der beobach- 
teten zu erweisen. Die Aufgabe hat außerordent- 
liehe Schwierigkeiten bereitet. Hinstein hat sie 
| jedoch auch in letzter Zeit in einer Weise gelöst, 
, die alle Anforderungen des allgemeinen Relativi- 
tätsprinzips befriedigt!). 
Macht man sich bei der Arien der Diffe- 
rentialgleichungen für die 10 Gravitationspoten- 
tiale gu, die aus der Newtonschen Theorie ge- 
-wonnenen Erfahrungen zunutze, nämlich daß in 
der Poissonschen Gleichung Ag=—4ro für 
das Newtonsche Gravitationspotential der feld- 
erregende Faktor (in der Poissonschen Gleichung 
die Massendichte ¢) einem Differentialausdruck 
zweiter Ordnung des Potentials proportional ge- 
setzt wird, so ist der Weg zu den Differential- 
gleichungen für die gu, so gut wie vorgeschrieben, 
wenn man für die neuen Differentialgleichungen 
eine ähnliche Gestalt anstrebt. Ohne diese durch 
die alte Theorie gegebene Wegweisung wäre man 
vielleicht noch lange im Dunkeln getappt. Der 
Erfolg beweist, daß der intuitiv eingeschlagene 
Weg der richtige war. 
Entsprechend unserer veränderten Auffassung 
von dem Wesen der Trägheit und der Schwere 
und ihrer Beziehung zu dem Energieinhalte der 
Körper werden als felderregende Größen statt der 
| Massendichte @ der Poissonschen Gleichung die 
ı 10 Komponenten derjenigen Größe auftreten, 
| welche für den energetischen Zustand an jeder 
Stelle maßgebend ist, und die schon in der 
Se) Sitz.-Ber. d. Kgl. Preuß. Akad. d. Wiss. 1915, 
| 8. 778, 799 und 844, 
I 
4 
® 
. 



| 
| 
| 


Biete 27. Freundlich: Die Grundlagen der Einsteinschen Gravitationstheorie. 389 
ungerechtfertigt. Die zwei in dieser Darstellungs- „speziellen“ Relativitätstheorie als der „Span- 
methode auftretenden, aber sonst beliebigen Ver- nungs-Energie-Tensor“ auftritt. 
änderlichen können als die Parameter zweier Was ferner die gesuchten Differentialaus- 
drücke zweiter Ordnung in den gu, betrifft, die 
dem Ag entsprechen sollen, so hat Riemann fol- 
gendes gezeigt: Für die Maßverhältnisse einer 
auf das Linienelement 
er! 
d?= > d Lu d ay 
geeründeten Mannigfaltigkeit ist ein von der 
speziellen Wahl der Veränderlichen «1, #2, X, 4 
unabhängiger Differentialausdruck vierter Ord- 
nung (der Riemann-Christoffelsche Tensor) mab- 
gebend, aus welchem alle weiteren, von der spe- 
ziellen Wahl der Veränderlichen x1, 22, %3, v4 unab- 
häneigen und nur die gy, und ihre Ableitungen 
enthaltenden Differentialausdrücke durch al- 
gebraische und differentielle Operationen abge- 
leitet werden können. Dieser Differentialaus- 
druck führt eindeutig auf 10 Differentialaus- 
drücke zweiter Ordnung in den gy,, welche dann 
den obengenannten 10 Komponenten des Span- 
nungs-Energie-Tensors als felderregende Größen 
proportional gesetzt werden, um die gesuchten Dif- 
ferentialeleichungen zu ergeben. Als Proportio- 
nalitätsfaktor setzt Einstein die Gravitations- 
konstante ein. 
Als Ergebnis der vorangehenden Absätze, deren 
volles Verständnis eigentlich nur bei einer aus- 
führlichen Darlegung der erforderlichen mathe- 
matischen Entwicklungen zu erlangen wäre, läßt 
sich zusammenfassend folgendes sagen: 
Der absolute Differentialkalkül einer auf das 
allgemeine Linienelement 
224 
ds?= » Gedanday .. (u,v = 1,2)3;4) 
1 
gegründeten Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit gibt uns 
die Mittel an die Hand, fiir jedes Gesetz der ur- 
sprünglichen „speziellen“ Relativitätstheorie eine 
entsprechende allgemeinere Gestalt zu gewinnen, 
die von der speziellen Wahl der vier Veränderlichen 
unabhängig ist. Für die neu auftretenden zehn 
Funktionen gu, die „Gravitationspotentiale‘“ der 
neuen Theorie, ergeben sich ferner ohne besondere 
Zusatzhypothesen 10 Differentialgleichungen zwei- 
ter Ordnung, die eine der Differentialgleichung 
zweiter Ordnung für das Newtonsche Gravitations- 
potential entsprechende Gestalt besitzen. 
Diese auf den allgemeinsten Voraussetzungen 
aufgebaute Theorie führt in der Tat in erster 
Ordnung auf die Newtonschen Bewegungsgesetze 
zurück. Sie leistet aber noch viel mehr, sie er- 
klärt nämlich ohne weiteres die einzige in der 
Planetentheorie aus dem Newtonschen Gesetze 
nicht erklärbare Bewegungserscheinung, nämlich 
das Restglied in der Perihelbewegung des Merkur, 
in ihrem vollen Betrage und ohne jede weitere 
Zusatzhypothese. 
