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28. 7. 1916 
der Patient nach verschiedenen Richtungen blickt, 
kann man gerade wie mit dem einfachen Augen- 
spiegel nacheinander alle Partien des Augenhinter- 
grundes absuchen. Durch eine besondere Einrich- 
tung ist es möglich, das nichtuntersuchte Auge 
des Patienten nach einer am Instrument ange- 
brachten Richtmarke') blicken zu lassen, die sich 
so verstellen läßt, daß jede gewünschte Blickrich- 
tung herbeigeführt werden kann. Das untersuchte 
Auge nimmt in gleicher Weise an der Blickbewe- 
gung teil und wird auch bei ruhig stehender 
Fixiermarke in einer gewünschten „Stellung fest- 
gehalten. Es ist auch möglich, in das Beleuch- 
tungssystem eine verstellbare Fixiermarke für das 
untersuchte Auget) anzubringen. Durch ein be- 
sonderes Okulart) können zwei Beobachter das- 
‚selbe ophthalmoskopische Bild seitenrichtig sehen, 
so daß sie sich über den Befund und über seine 
Deutung unterhalten können. Durch ein Zeichen- 
prisma’) kann man ähnlich wie bei einem Mikro- 
skop mit Zeichenapparat eine besonders beleuch- 
tete und der Helligkeit des Bildes angepaßte 
Zeichenfläche in das ophthalmoskopische Bild 
hineinspiegeln. Man sieht dabei die Bleistift- 
spitze in dem Bild des Augenhintergrundes und 
kann dann, ohne besonders auf die Zeichenfläche 
zu achten, den Augenhintergrund nachzeichnen. 
Die mathematische Behandlung der 
Ernährungsfragen. 
Von Dr. P. Riebesell, Hamburg. 
Da die Ernährungsfrage wohl zurzeit für 
Deutschland die wichtigste aller Fragen ist, mag 
| es angebracht erscheinen, einmal zu untersuchen, 
| was die exakte Forschung bisher auf diesem Ge- 
' biete geleistet hat, welche Aufgaben sie jetzt in 
Angriff genommen hat und was sie in Zukunft 
zu leisten imstande sein wird. 
1. Das Gesetz vom Minimum. 
Beginnen wir mit der Ernährung der Pflanzen. 
Bei ihnen hat als erster Justus v. Liebig quanti- 
tative Gesetze aufgestellt). Er erkannte, daß 
von den zahlreichen ,, Vegetationsfaktoren“, die das 
Wachstum der Pflanze und somit den Pflanzen- 
ertrag beeinflussen, derjenige die Hauptrolle 
| spielt, der im Minimum vorhanden ist. Sobald 
| ein Faktor, etwa das Wasser, nur in geringer 
Menge vorhanden ist, so kann das Wachstum nur 
denjenigen Grad erreichen, den dieses Quantum 
zuläßt. Somit ergibt sich folgendes Gesetz vom 
Minimum: „Der Pflanzenertrag richtet sich nach 
demjenigen Vegetationsfaktor, der verhältnis- 
mäßig am meisten im Minimum ist.“ Die Haupt- 
frage ist nun, zu untersuchen, in welcher Weise 
1) 0. Henker, Einige Zusatzapparate für das große 
Gullstrandsche Ophthalmoskop. — Bericht ü. d. 39. Ver- 
sammlung der Ophthalmologischen Gesellsch., Heidel- 
berg, 1913, S. 350—355. Mit 3 Textfiguren. 
- *) Vgl. EB. A. Mitscherlich, Bodenkunde für Land- 
| und Forstwirte. Berlin 1913. 
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Nw. 1916. 
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Riebesell: Die mathematische Behandlung der Ernährungsfragen. 439 
sich das Wachstum steigert, wenn das Minimum 
größer wird. Die einfachste Annahme wäre, daß 
der Ertrag der Pflanze y proportional mit dem im 
Minimum vorhandenen Faktor x steigt. Dann 
würde die Formel gelten: 
Ne ane tale! CT 
wo a den Ertrag bedeutet, der beim Minimum er- 
zielt wird und b ein Proportionalitätsfaktor ist. 
Daß diese Annahme der Wirklichkeit nicht ent- 
spricht, geht einmal daraus hervor, daß der Er- 
trag sich nicht ins Unendliche steigern läßt, wie 
dies Formel (1) verlangen würde, andererseits 
dadurch, daß bei jedem Wachstum eine Hemmung 
für die größere Aufnahme des betreffenden Fak- 
tors auftritt; denken wir z. B. an die Wirkung des 
größeren Schattens für die Lichtaufnahme, der 
größeren Verdunstung für die Wasseraufnahme. 
Wir werden es daher vermutlich mit einer Funk- 
tion zu tun haben, die zuerst schnell und dann 
immer langsamer wächst, bis sie sich einem be- 
stimmten konstanten Maximum nähert. Das 
Wachstum dieser Funktion, d. h. die Änderung 
bei Vermehrung der Nahrungszufuhr um die Ein- 
heit, können wir direkt mit dem Wachstum der 
Pflanze, d. h. mit der Zunahme der Größe bei 
Vergrößerung des Vegetationsfaktors, vergleichen. 
Dieses Wachstum wird zuerst große Werte an- 
nehmen und sich allmählich der Null nähern. 
Solchen Funktionen begegnet man häufig bei der 
mathematischen Behandlung der Naturwissen- 
schaften, so z. B. bei der Auflösung fester Körper 
in Flüssigkeiten oder Säuren, bei der Änderung 
des Luftdrucks mit der Höhe, bei der Wärme- 
abgabe heißer Körper. Wir können daher an- 
nehmen, daß wir es hier mit einem ähnlichen 
quantitativen Gesetz zu tun haben, und analog 
den erwähnten Fällen die Annahme machen, daß 
die Wachstumsgeschwindigkeit proportional dem- 
jenigen Ertrage ist, der noch am Höchstertrage 
(A) fehlt. Wir erhalten also folgende Gleichung: 
dy 
ar = (A ee Y) > ee ee ao 
Das ist natiirlich zunichst eine Hypothese, die nur 
fiir einen Momentanzustand gilt. Wie immer in 
den mathematischen Naturwissenschaften miissen 
wir durch Integration zu Gesetzen kommen, die 
der Beobachtung zugänglich sind und dadurch 
den Priifstein fiir die Richtigkeit der Annahme 
ergeben. Führen wir die Integration aus, so er- 
gibt sich: 
ls (A—J)=c-—k.x. 
Die Integrationskonstante c ist dadurch bestimmt, 
daß für —=0 das y=a ist. Es wird demnach: 
ce = lg (A—.a), so daß.das Gesetz lautet: 
le (A—-y)J)=lg(A—a)—k'x, . . 8 
oder Ae ACT RE in (4) ee 
wo A, Ad. 
Dieses Gesetz hat nun seine Gültigkeit bei 
Versuchen mit den verschiedensten Vegetations- 
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