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28. 7. 1916. 
Die drei Konstanten b, C und k sind aus den 
Beobachtungsresultaten zu bestimmen. Am ein- 
_ fachsten ist die Ermittelung, wenn die drei Werte- 
paare 7, t1; we, to und 23, ts so gewählt werden, 
daß ts — tz = t2 — 4, ist, d. h. wenn man gleiche 
Zeitintervalle nimmt. Dabei sind für tı und fs 
die Endwerte der Tabelle zu nehmen, und der Wert 
für x» ist, wenn er nicht beobachtet ist, durch 
Interpolation zu finden, was eine gewisse Un- 
_ sicherheit mit sich bringt. Wamser hat die aus 
den Fütterungsversuchen für Schweine, Schafe 
und Rinder erhaltenen Werte für die Herleitung 
der Gesetze für die Aufnahme von Trockensub- 
stanz, Stärke und Eiweiß benutzt. Die be- 
_ rechneten Werte stimmen mit den beobachteten 
meist bis auf wenige Prozent überein. Nur beim 
Eiweiß, wo es sich um kleine absolute Zahlen 
handelt, sind die Abweichungen relativ recht groß, 
überschreiten allerdings auch hier nicht 10 Pro- 
zent, solange es sich um kleine Versuchsreihen 
_ handelt. Anders wird dies aber, sobald Versuchs- 
_ reihen genommen werden, die sich auf die ganze 
Dauer der Entwicklung ein und desselben Tieres 
erstrecken. Dann ergeben sich Abweichungen von 
bis zu 40 Prozent. Für die Werte der Konstan- 
ten: B (Futter bei der Geburt), b (Futtermini- 
mum), k (Geschwindigkeitsfaktor) gibt Wamser 
folgende Werte an: 
a) für Stärke: 
< 


B oa k 
Schweine 47,18 10,19 0,00599 
Schafe 58,29 9,61 0,01194 
Rinder 23,59 7,30 0,005 
b) für Eiweiß: 
Schweine 12,02 1,30 0,01044 
Schafe 71,22 1,04 0,00696 
Rinder 3,98 0,60 0,0025 
Die Bedeutung der Gesetze liegt natürlich 
darin, daß man mit ihnen den Futterbedarf für 
~ beliebiges Alter voraussagen kann und dadurch 
| Grundlagen für die Rentabilitätsberechnungen er- 
‚hält. 
4. Genauere Gesetze. 
Die oben gemachte Fehlerangabe zeigt, daß wir 
es in den bisher aufgestellten Gesetzen sicher nur 
mit einer ersten Annäherung, vielleicht nur 
Smit Regeln, zu tun haben. Es ist nötig, 
sowohl die Grundlagen einer Revision zu un- 
terziehen als auch die mathematische Be- 
handlung der Funktionen weiter auszubauen. 
| Was zunächst die Grundlage angeht, so ist die 
Annahme, daß die Geschwindigkeit, mit der die 
| Nahrungsaufnahme dem Minimum zustrebt, um 
| so geringer ist, je näher man dem Minimum 
_ kommt, zweifellos richtig. Es muß aber auch be- 
rücksichtigt werden, daß die Geschwindigkeit auch 
vom Alter abhängig ist und diesem in erster An- 
_ näherung proportional zu setzen ist. Damit wür- 
den wir zu folgendem Ansatz kommen: 
dx 
Fe t(c—b). ECO 
schen 
Riebeseil: Die mathematische Behandlung der Ernährungsfragen. 441 
Die Integration liefert dann folgendes Gesetz: 
k 
ke —-b)=—-—#, re Oy. 
oder Bee we sn zer tl 
Wir sind damit zu einem quadratischen Ex- 
ponentialgesetz gelangt, das der bekannten Gaußb- 
Fehlerfunktion ®’(x) entspricht. Für 
ihren Verlauf sind zahlreiche Tabellen vorhan- 
dent). Die Funktion ist in Fig. 1 veranschaulicht. 
Sie enthält im wesentlichen auch alle Kurven, bei 
denen der Differentialquotient in erster Potenz 
von der abhängigen Veränderlichen abhängt, somit 
auch die vorher aufgestellten Gesetze. DBe- 
kanntlich läßt sich die Funktion bei günsti- 
ger Wahl der Konstanten den Abklingungs- 
kurven, wie wir sie hier beim Ernährungsproblem 
vor uns haben, in beliebiger Annäherung an- 
passen, werden doch ganz willkürliche Funktionen 
durch Reihen von ®(x) mit ihren Ableitungen 
dargestellte. Die Bestimmung der Konstanten be- 
reitet, wenn man wieder die Annahme macht, 
daß ts in der Mitte zwischen tı und fs liegt, keine 
Schwierigkeiten. Gegebenenfalls sind die Ablei- 
tungen der Funktion (11) hinzuzunehmen. 
Das Hauptproblem ist nun, die Abhängigkeit 
des Körpergewichts y oder das Wachstum mit zu- 
nehmendem Alter ¢ festzustellen. Da das Wachs- 
tum von der Nahrungsaufnahme w nach (4) ab- 
hängt, letztere aber wieder durch (8), allerdings 
für ein bestimmtes Einheitsgewicht, mit dem 
Alter t verknüpft ist, so ergibt sich als Abhangig- 
keit des Körpergewichts y vom Alter ¢ durch Ein- 
setzen und Multiplikation angenähert folgendes 
Gesetz: 
abet nn: are 
Wir haben damit das „Zerit-Wachstumsgesetz“ : 
y=fs(t) erhalten. 
Die logarithmische bzw. Exponentialfunktion 
scheint demnach bei diesen Fragen vorzuherr- 
schen, wie das seit der Einführung der ‚„natürli- 
chen“ Logarithmen bereits von den Mathematikern 
vermutet wurde. 
5. Das Zeit-Wachstumsgesetz für den Menschen. 
Es ist nach den vorhergehenden Auseinander- 
setzungen klar, daß besser als (12) das quadrati- 
sche Exponentialgesetz die wirklichen Verhält- 
nisse wiedergeben würde, zeigen doch die Fehler 
bei längeren Versuchsreihen, daß das Wamsersche 
lineare Exponentialgesetz nicht anpassungsfähig 
genug ist. Es wäre besser zu setzen: 
y=a+b,:ent + b,.eat.. . . A3 
Damit stimmen auch die praktischen Ergeb- 
nisse tiberein. Auch Wamser stellt dieses Gesetz, 
wenn auch in anderer Form, auf. Er setzt für 
1) Z. B. BE. Czuber, Wahrscheinlichkeitsrechnung. 
Leipzig 1914. 
