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gesetz keine Differentialgleichung mehr, 
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Heft 33 Bel 
18. 8. 1916 
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fvmre=P 
endlich bleibt. Das bis zu unendlichen Zeiten 
fortgesetzte Integral bestimmt dann den Betrag, 
um den der sog. „Endwert“ des Elastizitäts- 
moduls #’ kleiner ist, als der Anfangswert E: 
H’ = K—F. 
Man kann unschwer zeigen, daß der obige An- 
satz nicht nur die Erscheinung der Relaxation, 
sondern eine große Reihe anderer Nachwirkungs- 
erscheinungen wenigstens in a Hinsicht 
richtig darzustellen vermag. 
Was ist nun das Charakteristische an unserem 
Erinnerungsansatz? Offenbar die Annahme, daß 
der momentane Wert der Spannung und der Deh- 
nung durch Werte bestimmt werden, die das 
System zu anderen Zeiten angenommen hat, sie 
Bl ne nn ee T 
fe 

Fig. 2. 

Fig. 3. 
sind bestimmt durch Integrale über verflossene 
Zeiten; mathematisch genommen ist unser Natur- 
sondern 
eine Integralgleichung. 
Die Neuartigkeit der Auffassung erhellt aus 
dem bisherigen Ansatz vielleicht nicht ganz klar, 
weil man annehmen könnte, daß die Integralglei- 
chung gewissermaßen bereits als Lösung eines 
Differentialgesetzes zustande gekommen ist. In 
der Tat muß die Integralgleichung in vielen Fäl- 
der reinen Relaxation, 
len, z. B. auch in dem soeben betrachteten Falle 
auf eine Differential- 
 gleichung zurückzuführen sein, weil doch manche 
einfachen Fälle der Nachwirkung wie wir 
früher gesehen haben — durch Differentialgesetze 
dargestellt werden können. Ganz klar tritt jedoch 
der prinzipielle Unterschied des neuen Ansatzes 
hervor, falls wir auch die Trägheitserscheinungen, 
d. h. die Massenwirkungen mit den Nachwirkungs- 
 erscheinungen kombinieren. 
Um ein konkretes Beispiel zu betrachten, neh- 
men wir einen Draht von der Länge 7 und vom 
Querschnitt f und hängen eine Masse m darauf. 
Wenn der Zeitpunkt {= 0 den Anfang des ganzen 

Kärmän: Das Gedächtnis der Materie. 
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Vorganges bildet und in einem Zeitpunkt £ die 
Dehnung mit « (¢), die Spannung mito (¢) bezeich- 
net wird, so ist offenbar die Elongation am Draht- 
ende 1X e(t) und die zugehörige Kraft f X o (ft). 
Die Masse m macht die Bewegung des Drahtendes 
dé 
Sheil 
dt 
Zwischen Kraft und 
mit, sie hat also eine Geschwindigkeit / 
E 3 ds 
eine Beschleunigung Ip 
Beschleunigung besteht aber nach dem Newton- 
schen Bewegungsgesetz die Beziehung: 
Kraft = Masse X Beschleunigung, 
d.h. —fo=m: I 
wobei das negative Vorzeichen ausdrücken soll, daß 
eine Zugspannung im Draht bestrebt ist, die 
Masse nach oben zu beschleunigen; sie stellt offen- 
bar eine Kraft dar, die auf die Masse in der 
Richtung nach oben wirkt, diese nach oben zieht. 
Nun ist nach unserem Erinnerungsansatz 
t 
0= Be— fet—dy ae. 
0 
Setzen wie diesen Ausdruck für o ein, so erhalten 
wir 
t 
é@—t)Wadt=ml— os 
0 
d. h. der zeitliche (zweite) Differentialquotient 
von « zur Zeit t ist bestimmt: 
a) durch den Wert von « zur Zeit t, 
b) durch ein Integral über die Werte von & in 
dem gesamten Zeitraum von O bis ¢. 
Eine solche Gleichung stellt offenbar eine 
von der Differentialgleichung abweichende Form 
eines Naturgesetzes dar, sie wird als Integral- 
differentialgleichung bezeichnet. 
Es ist ein Verdienst des italienischen Mathe- 
matikers Vito Volterra, daß er — nachdem die 
Theorie der Integralgleichungen von Fredholm, 
Hilbert, Erhardt Schmidt und von vielen anderen 
Forschern entwickelt wurde — wenigstens die 
Grundlagen zur weiteren Behandlung dieser all- 
gemeinsten Form physikalischer Gesetze, der In- 
tegraldifferentialgleichungen, gegeben hat. Und 
für jene, die sich in die Frage vertiefen wollen, 
sei außer seinen Originalarbeiten an die in 1914 
im Teubnerschen Verlag erschienenen „Drei Vor- 
lesungen über neuere Fortschritte der mathema- 
tischen Physik“) hingewiesen, wo er die dritte 
dieser an der Clark-Universität. gehaltenen Vor- 
lesungen den von der Vorgeschichte des Körpers 
abhängigen Erscheinungen und der Entwicklung 
von grundlegenden Theoremen über Integraldiffe- 
rentialgleichungen widmet. Es sei dabei erwähnt, 
1) Drei Vorlesungen über neuere Fortschritte der 
mathematischen Physik. Leipzig, B. G. Teubner, 1914. 
Arch. der Math. und Physik Bd. 22 (S. 97—181; da- 
selbst Verzeichnis der Originalarbeiten desselben Ver- 
fassers). Preis M. 
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