

Thing: 

















\ werden kann“. Nach der Umkehr sol- 
als bis auf unendlich kleine Abweichungen, 
wir vernachlässigen, die Zeitdifferenzen zwi- 
hen den Uhren in K und den gerade vorüber- 
fenden in K’ ebenfalls durch das Diagramm in 
. 2 gegeben. sein. Hingegen darf nicht von 
vornherein vorausgesetzt werden, daß die K’- 
Uhren untereinander nach Beendigung des Be- 
schleunigungsvorganges noch exakt gleichzeitig 
gehen. Denn da die Relativgeschwindiekeit von 
‘in bezug auf K nicht mehr v, sondern — v ist, 
t nun, die Transfor "mation: 
+) 
ober. to? eine Konstante ist, deren Wert davon 
‚abhängt, mach welcher Uhr von X’ alle anderen 
Uhren dieses Systems nach der Umkehr eleichge- 
Enter werden. Das bedeutet also folgendes: 
Würde man nach der Umkehr (zur Zeit 
Peg | 
= ( a) +21) alle K'- Uhren nach der 
’ Uhr B richten — B befindet. sich jetzt im Pünkte 
2 =1 —, so wären die Differenzen ihrer Zeit- 
t' — U, =p 

















fe-Wv +27) 
angaben gegen die der gerade vorüberlaufenden 
A -Uhren durch die obere gestrichelte Gerade in’ 
Fig. 3 gegeben. Denn man hätte in diesem Falle 
die in Fig. 1 skizzierte Konstruktion der Geraden 
unter Berücksichtigung der Vorzeichenänderung 
& der Geschwindigkeit v und des neuen Ausgangs- 
‚punktes der Konstruktion (K’-Uhr.in Punkt B) 
zu wiederholen. Tatsächlich soll aber, wie wir 
3 eben in Übereinstimmung mit Gehrcke fest- 
gesetzt ‘haben, der Beschleunigungsvorgang ohne 
"Einfluß sein auf den relativen Stand der eben 
benachbarten K- und K’-Uhren. Es muß daher 
nach Beendigung des. Beschleunigungsvorganges 
‘die Zeitdifferenz Af gerade so wie vorher durch 
‚ausgezogene Gerade gegeben sein. Es bedeuten 
also: Die Ordinaten der ausgezogenen Geraden die 
2 eitdifferenzen der nach der Umkehr sich selbst 
überlassenen K’-Uhren gegenüber den gerade be- 
chbarten: K-Uhren und die der gestrichelten 
ade die Zeitdifferenzen zwischen den K’- und 
De ‘wenn man die ersteren nach der Um- 
gemäß den Vorschriften ‘der speziellen 
atiibatathéorto (s. S. 209 Sp. 2). wieder 
chgerichtet hätte. Daß diese beiden Geraden 
ei a en, eh nun, daß die Sin 

Sher das Uhrenparadoxon in der Relativitätstheorie. 211 
mehr dureh den Beschleunigungsvorgang in Un- 
ordnung gebracht. In welchem Sinne diese Be- 
einflussung erfolgt, kann man aus der Fig. 3 
leicht erkennen. Denn bezeichnet man die Zeit- 
angaben der sich selbst überlassenen K’-Uhren 
mit t’, die Zeitangaben der nach der Umkehr 
gleichgerichteten K’-Uhren mit t’c, so ist die Or- 
dinate eines Punktes der ausgezogenen Geraden 
t—t’, jene eines Punktes der gestrichelten {—t’c. 
Der Abstand eines Punktes der gestrichelten Ge- 
raden” über dem korrespondierenden (vertikal 
darunter liegenden) Punkt der ausgezogenen Ge- 
raden ist demnach gleich #’—t’c. Diese Größe ist 
positiv für Punkte links von B und negativ für 
Punkte rechts von B. Die K’-Beobachter werden 
daher konstatieren, daß während des Be- 
schleunigungsvorganges die in der Beschleu- 
nigungsriehtung vorne liegenden Uhren 
rascher gelaufen sind als die rückwärts 
liegenden. (Dasselbe Resultat erhält man 
natürlich auch, wenn man irgendein System nicht 
zur Umkehr bringt, sondern etwa aus dem Ruhe- 
zustand beschleunigt. — Diese einfache Überlegung 
liefert gleichzeitig auch die elementare Erklärung 
für die von der allgemeinen Relativitätstheorie 
geforderte: Rotverschiebung der Spektrallinien an 
Orten niederen Gravitationspotentials. _ Denn 
nach der Äquivalenzhypothese verlaufen alle phy- 
sikalischen Vorgänge in K’ in ganz der gleichen 
Weise, wenn an Stelle der geradlinig gleichförmi- 
gen Beschleunigung ein homogenes Schwerkraft- 
feld auf dieses System wirkt. Den in der Be- 
schleunigungsriehtung vorne liegenden Uhren 
entsprechen dann solche, die an Orten hohen Gra- 
vitationspotentials liegen; also müssen diese 
rascher laufen als jene, die sich an Orten niederen 
Potentials befinden. Daher die Verminderung 
der Frequenz [Rotverschiebung] der Linien des 
Sonnenspektrums.) 
Die K’-Beobachter 
sollen nun ihre Uhren 
in den voneinander , abweichenden Stellun- 
gen. belassen (entsprechend der ausgezoge- 
men Geraden, Fig. 3), sollen aber dafür Sorge 
tragen, daß die einzelnen Uhren weiterhin richti- 
gen Gang haben (das können sie durch Messung 
der Lichtgeschwindiekeit kontrollieren). Dann 
passiert die Uhr A, die im Momente der Umkehr 
gegenüber der ihr gerade benachbarten K’-Uhr 
noch nachgeht, während des Zurücklaufens von 
K’ nacheinander Uhren, von denen jede folgende 
ein bißchen gegen die vorangehende nachgeht. 
Thr Gang wird also gegenüber den vorbeilaufen- 
‘den K’-Uhren voreilen, 
und wenn sie schließlich 
so wind sie gegen diese 
Zeitdifferenzen zwischen 
mit B zusammentrifft, 
Uhr vorgehen‘). Die 
6) Der Effekt des Nachgehens infolge der gleich: 
férmigen Bewegung beim Zurücklaufen ist nämlich nur 
halb so groß wie der durch die Umkehr | bewirkte Ef- 
‚fekt, der Abweichungen der Uhren von X’ unterein- 
- ander. 
“sache, daß der Winkel zwischen. der. gestrichelten und ~ 
Man erkennt dies aus Fig. 3 an der Tat- 
der ausgezegenen Geraden doppelt so ‚groß ist wie jener 
zwischen der ausgezogenen Geraden und der X-Achse. 
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