





898. ering: 
gefordert sind, die algebraische Allgemeingültig- 
_ keit auf die räumlichen Gebilde überträgt, durch 
die Einbeziehung des Imaginären sofort die 
bedeutungsvollsten Ergebnisse gezeitigt, nament- 
lich auch, indem sie die Trennung von Analysis 
und Geometrie überwinden und beide befruch- 
tend aufeinander einwirken lassen konnte. So 
ergab sich auf diesem Wege in Kleins Disser- 
tation sofort die überraschend einfache Her- 
- Jeitung der quadratischen Linienkomplexe, welche 
dieselbe Singularitätenfläche besitzen, und gleich- 
zeitig eine Fülle geometrischer Eigenschaften 
dieser Fläche, der bekannten Kummerschen 
Fläche 4. Ordnung und 4. Klasse mit 16 Doppel 
punkten und 16 Dowschät 
Klein hat die hier angestellten Betrachtungen 
in einer Reihe weiterer Arbeiten fortgeführt, die 
im vorliegenden Bande ebenfalls ihre Stelle gefun- 
den haben (Abh. II bis XI). Hierbei drang er auf 
der einen Seite immer tiefer in die Eigenschaften 
der Kummerschen Fläche ein und wurde na- 
mentlich über die algebraische Darstellung hin- 
aus den funktiontheoretischen Zusammenhängen, 
die bei der Kummerschen Fläche in besonders 
schöner und einfacher Weise 'hervortreten, zuge- 
führt (Abh. IX). So wurde er auf die Bahn 
hingelenkt, auf der er später die glänzendsten 
Erfolge erzielte: die Synthese der Geometrie mit 
der Algebra und Funktionentheorie, Aus der 
Fülle der damit erlangten Gesichtspunkte heraus 
auf die » 
ist er später (1885 und 1886) wieder 
Kummersche Fläche eingegangen (Abh. XII und 
XIII im vorliegenden Bande), die früheren 
Untersuchungen damit zu einem gewissen Ab- 
schluß bringend. Auf der anderen Seite wurde 
aber Klein in seinen liniengeometrischen Be- 
trachtungen veranlaßt, an diesem Beispiel zu 
zeigen, wie die algebraische Behandlung dazu 
führt, von der geometrischen Besonderheit eines 
räumlichen Gebildes wie der geraden Linie an 
‚sich abzusehen und das Augenmerk allein auf 
den Charakter der Mannigfaltigkeit zu lenken, 
welche die Gesamtheit aller 
bilde, also im besonderen Falle die Gesamtheit 
aller geraden Linien. darstellt. Dieser Charakter 
wird im Falle der Liniengeometrie erst geklärt, 
wenn als das Element nicht die gerade Linie, 
sondern der Linienkomplex ersten Grades gewählt. 
wird, der speziell in die Gesamtheit aller eine 
gegebene gerade Linie treffenden Strahlen aus- 
arten kann und dann einfach durch diese Linie 
bestimmt wird, sie also: gewissermaßen repräsen- 
tiert. Der Charakter. der Liniengeometrie wird 
dann gekennzeichnet durch einen Ausdruck, wel- 
cher als das Moment zweier linearer Komplexe 
bezeichnet werden und zur allgemeinen Fest- 
leeung eines veränderlichen Komplexes durch 
sechs fest gegebene Fundamentalkomplexe dienen 
kann. Eine Veränderung dieses Bezugssystems 
der. sechs Fundamentalkomplexe bedeutet eine 
_ lineare Transformation der zugehörigen allgemei- 
nen Linienkoordinaten. Dabei muß aber jeder 
a ersten Bande der Gesamtausgabe‘ ve 
rales in einen zielen Ro 
"in sich übergeführt wird, und durch diese. Tran 7 
- euklidische Geometrie sind durch :außergewö 
-Jiche Klarheit und Schönheit ausgezeichnet. 
gleichartigen Ge- 
- metrischer Einfachheit gebracht. 
drei metrischen Geometrien die projektive Geo- : 
lich an die Kleinschen Arbeiten ankniipft. Die 
genannten 

























































übergehen, denn dann gehen auch die durch die 
Komplexe repräsentierten geraden Linien inei 
ander über. Algebraisch bedeutet das aber, da 
eine bestimmte quadratische Form der Lini 
koordinaten durch die lineıren Transformati 
formationsgruppe und die zugehörige invaria 
quadratische Form wird die ‚Gesamtheit der & 
raden Linien des Raumes charakterisiert. 
Von hier aus war es nur ein Schritt zu d 
epochemachenden Arbeiten Kleins über die nie 
euklidische Geometrie, welche in dem vorliegenden 
Bande die Abhandlungen XV bis XIX bilden 
und in den Jahren 1871 bis 1874 erschienen sind. 
Klein ging dabei aus von Untersuchungen C« 
leys, der die Maßbestimmung der metrischen Ge« 
metrie der Lagenbestimmung der projekti 
Geometrie unterordnete. Die auf diesem We: 
sich ergebenden algebraischen Formeln brauch 
Klein nur zu verallgemeinern, um .mit- eine 
Schlage das Problem der nichteuklidischen Geo- 
metrie in ein neues Licht zu rücken. Die Bolyai 
Lobatschewskysche Geometrie erschien dabei n 
als einer von drei möglichen Fällen, den Kle 
als hyperbolische Geometrie kennzeichnet. D 
euklidische Geometrie erscheint als parabolise 
Geometrie, und als dritter Fall, der einem 
begrenzten, aber nicht unendlichen Raum 
sprechen würde, tritt die elliptische Geomet 
hinzu, deren eigenartigen und merkwürdige 
Charakter bald darauf Olifford mit genialer I 
tuition bloBlegté. 
Die Kleinschen 
Arbeiten über aie. nic. 
sind aber auch ein merkwürdiges Beispiel für a 
Art, wie sich idie mathematische Forschung ‘ent- 
wickelt. Kleins Ausgangspunkt ist nämlich durch- 
aus die intuitive Erfassung des Problems. Ge- 
rade dadurch, daß man, wie er es tut, in d 
Ebene einen Kegelschnitt, im Raume eine Flac 
zweiter Ordnung (die aber nicht reell zu se 
brauchen) als Grundlage einer projektiven M 
bestimmung wählt, wird die nichteuklidise 
Geometrie auf das höchst erreichbare Maß ge 
Die sch 
Beltramische Interpretation der drei Geometr: 
arten (als die Geometrien auf den Flächen k 
stanter positiver, verschwindender oder negativ. 
Krümmung) verliert ihre anschauliche Bedeutun 
sowie es sich um den Raum handelt. Klein 
Darstellung umfaßt aber das dreidimensional 
Gebiet mit derselben anschaulichen Klarheit, und 
sie hat außerdem den großen Wert, daß sie den 
metrie in gleicher Weise überordnet. Es ist nun 
höchst bezeichnend, daß gerade die scharfe lo- 
gische Zergliederung der Geometrie doch wesent- 
logische Zergliederung verkörpert sich in der so- 8 
Axiomatik, indem es sich wesentlich = 
