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rin rding: Zum ersten Bande der Gesamtausgabe von F. Kleins Wissenschaft Abb. 899 
handelt, die unbewiesen bleibenden Vor- sich als „vergleichende Betrachtungen über 
ssetzungen der logischen Ableitung bloß- neuere geometrische Forschungen“ darbietet, ist 










































So zeigt sich deutlich an diesem Bei- 
el die merkwürdige Tatsache, daß die geniale 
Intuition, wenn nicht immer, so doch in vielen 
3 'ällen auch die Quelle der nach der Meinung des 
“Laien dem Gebiete der schöpferischen Bee 
am weitesten entrückten Wissenschaft, der Ma- 
thematik, ist. 
Klein hat seine Theorie der nichteuklidischen 
‚Geometrie später in Vorlesungen behandelt, die 
ee ulostaphischer Reproduktion erschienen sind. 
"Eine Reihe dabei neu hervortretender Gesichts- 
unkte sind in einer besonderen Abhandlung 
(Nr. XXI im vorliegenden Bande) niedergelegt. 
Besonders lichtvoll hat er sich über seine Ansich- 
ten von der allgemeinen Bedeutung und Begriin- 
dung der Geometrie in dem Geraohion zur ersten 
Verteilung des Lobatschewskypreises im Jahre 
1897 (Abh. XXIT) ausgesprochen. Hier ist auch 
das Gebiet. berührt, auf das sich der letzte Teil 
der in dem vorliegenden Bande vereinigten Ab- 
handlungen bezieht, soweit es sich um geome- 
trische oder physikalische Probleme handelt. Es 
ist dies das Gebiet der kontinuierlichen Transfor- 
mationsgruppen. Die Kleinsche Deutung der 
nichteuklidischen Geometrie wie seine Behand- 
lung der Liniengeometrie läßt sich damit un- 
mittelbar in Zusammenhang bringen, indem sich 
die Besonderheit der einzelnen Geometrien ge- 
radezu durch die ihnen zugewiesene Transforma- 
ionsgruppe kennzeichnen läßt. Es handelt sich 
‘dabei um die Transformationen, welche wie die 
“Kongruenzen der euklidischen Geometrie die 
Maßbeziehungen ungeändert lassen, und es ist 
sofort klar, daß diese Transformationen die pro- 
_jektiven (kollitedrerts Transformationen _ sind, 
welche die der Maßbestimmung zugrundegelegte 
sich 
y 
" Kurve oder Fläche zweiter Ordnung in 
_ transformieren. 
| Die Fragestellung, die Klein gemeinsam mit 
| Sophus Lie zuerst an die kontinuierlichen Trans- 
ormationsgruppen herangeführt hatte, war frei- 
ich eine andere gewesen. Es war das Problem 
| der sogenannten W-Kurven, d. h. der-Kurven, zu 
denen auch die logarithmischen Spiralen gehören 
Band die durch eine kontinuierliche Gruppe von 
‘einfach unendlich vielen vertauschbaren kolli- 
‘nearen Transformationen in sich übergeführt 
‚erden. Diese Betrachtungen sind durch eine 
oße Einfachheit und Eleganz ausgezeichnet. 
r Wert liegt aber hauptsächlich darin, daß sie 
en Weg zu den Forschungen gebahnt haben, die 
“einen eroßen Teil der Lebensarbeit von Klein 
“und Lie ausgemacht und die mathematische Welt 
‘eine Zeitlang geradezu beherrscht haben. Der 
‚Gedanke, die Geometrie durch den Gruppenbe- 
griff durchaus zu bestimmen und zu leiten, ist 
auch die leitende [dee der bekannten Erlanger 
ogrammschrift, mit der Klein zweiundzwanzig- 
hrig sein Amt als ordentlicher Professor an der 
Universität Erlangen antrat. Diese Schrift, die 
im wahren Sinne ein Programm. Sie will nich 
sowohl über vorliegende Untersuchungen berich- 
ten als vielmehr den Weg für die weitere Ent- 
wicklung weisen, und ein Vierteljahrhundert ist 
auch die Entwicklung durch die hier niedergeleg- 
ten Ideen bestimmt gewesen, bis andere Richtun- 
gen mehr und mehr zur Hoktsehafh gelangten. 
In den letzten Jahren fand Klein zweimal 
Veranlassung, die Gesichtspunkte, die für ihn 
beim Eintritt in seine wissenschaftliche For- 
schungsarbeit bestimmend waren, nochmals «zu 
entwickeln. Zuerst- um die Wende des Jahr- 
hunderts, als Sir Robert Stawell Ball seine 
„Schraubentheorie“, die er von den siebziger Jah- 
ren an weiter 
einer zusammenhängenden Darstellung herausgab. 
Ball war schon. gleich bei Beginn seiner Unter- 
suchungen zu Begriffsbildungen gelangt, die mit 
den Fundamentalkomplexen in Kleins Liniengeo- 
metrie wesentlich übereinstimmten. Der leitende 
Gedanke Balls, die Liniengeometrie mit der Me- 
chanik starrer Körper zu verkoppeln, war schon 
in Plueckers ersten Veröffentlichungen über 
Liniengeometrie hervorgetreten und Klein selbst 
war diesen Ideen bereits 1871 (Abh. XIV des vor- 
liegenden Bandes) weiter nachgegangen. Er 
griff nun im Jahre 1901, nachdem er inzwischen 
in seiner Theorie des Kreisels die Mechanik des 
starren Körpers an einem besonderen Problem 
tiefgründig behandelt hatte, die früheren Be- 
trachtungen wieder auf, wesentlich um die grund- 
sätzlichen Gesichtspunkte einer abschließenden 
Klärung zuzuführen (Abh. XIX im vorliegenden 
Bande). Er, der sich ursprünglich ganz der Phy- 
sik hatte zuwenden wollen und scheinbar nur 
durch einen Zufall, in Wirklichkeit aber doch 
wohl durch eine innere Bestimmung der Mathe- 
matik zugetrieben worden war, nachdem er eine 
Zeitlang allen Ernstes gehofft hatte, nach einer 
mathematischen Zwischenzeit zur Physik zurück- 
zukehren, war im Laufe der Jahre immer mehr 
dazu gekommen, die physikalischen Vorgänge 
unter dem Gesichtswinkel des Mathematikers zu 
sehen, und so steht auch hier das mathematische 
Interesse durchaus im Vordergrunde. 
Das Gleiche ist der Fall bei den nun noch fol- 
genden Abhandlungen (XXX bis XXXIII), die 
an die  Einsteinsche Relativitätstheorie  an- 
knüpfen und auf deren mathematische Abklärung 
hinzielen. Diese Theorie, die mehr als je ein 
Gebiet der exakt wissenschaftlichen Forschung 
sich die regste Anteilnahme der breitesten Öf- 
fentlichkeit erobert hat, fand nach den ersten Ar- 
beiten Einsteins die seither maBgebende Ausge- | 
staltung durch Minkowski, der in seiner „Raum- 
zeitwelt“ eine überraschend einfache und klare 
Darstellung der Einsteinschen Ideen gab. Diese 
Darstellung aber rückt eine Gruppe von linearen 
Transformationen der "Raumzeitvariablen in den 
Vordergrund, die nach ihrem Entdecker als die 

und weiter ausgebildet hatte, in. 

