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gleichungen können aber ihrem ursprünglichen 
in nach nur für die wirklichen Bewegungen 
aller Einzelteilchen gelten und besagen nichts 
r die Scheinwerte von Druck und Geschwin- 
ekeit, die durch eine unbeabsichtigte Mittelwert- 
bildune nach Ort und Zeit zustande kommen. 
om praktischen Standpunkt aus lag es nahe zu 
ntersuchen, ob sich nicht unmittelbar Gesetze 
ir die Grundbewegung auffinden lassen. Dies 
hat zuerst Boussinesq unternommen, indem er ein 
‘System von Differentialgleichungen gab, das sich 
von dem klassischen für zähe Flüssigkeiten da- 
urch unterschied, daß an Stelle des konstanten 
Reibungskoeffizienten ein passend veränderlicher 
„Lurbulenzkoeffizient“ trat. Die Integrale dieser 
Gleichungen sollten Druck und Geschwindigkeit 
"der Grundbewegung darstellen, doch sind sie der 
athematischen Schwierigkeiten wegen kaum 
auch nur in einem entscheidenden Fall aufgefun- 
iden worden. Eine weit einfachere Theorie habe 
ich im Jahre 1908 entwickelt?) und ich glaube, daß 
sie durch alle bisherigen Erfahrungen nur bestä- 

m 
hen Ansatz für ideale Flüssigkeiten erhält, 
enn man daraus den Druck eliminiert (und das 
-haltlich mit den Helmholtzschen Wirbelsätzen 
ereinstimmt). Daß dieses Gleichungssystem 
nicht eindeutig ist und daß für die Druckvertei- 
lung noch weitere Annahmen erforderlich sind, 
gibt nur die willkommene Gelegenheit zur An- 
passung der Theorie an die Beobachtungen. Ich 
möchte von neueren Ergebnissen "besonders die 
mit der Beobachtung so gut übereinstimmende 
Lehre vom Tragflächenauftrieb und die von der 
irbelbildung hinter einem in eine Strömung 
ngetauchten Körper als Bestätigungen meiner 
uffassung in Anspruch nehmen. 
“Aber wie dem auch sei, ob die Boussinesqsche 
Theorie oder meine — eine dritte ist bisher nicht 
bekannt geworden — die Erscheinungen besser 
edergibt, mit der eigentlichen Mechanik im 
lassischen Sinne hat das nichts zu tun. Denn 
iese erhebt den Anspruch, gerade die vielfältig 
rwirrte Bewegung der Einzelteilchen erklären, 
so vor allem in ihrem zeitlichen Ablauf dar- 
stell n zu können; der Verlauf der verhältnis- 
äßig ruhigen Grandbewecane müßte sich da- 
pen. von selbst, on ohne weitere ia 
4) Val. meinen ee auf der. Naturforscherver- 
ung in Köln 1908, Jahresber. d. deutsch. Mathe- 
ere 27, 1908, 8 319320, oder Zeitschr. f. d. 
rbinenwesen 1909; ferner Elemente der techn. 
AS I; Leipzig: 1914, S. 29—33, 
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ddr quasi-stationäre Zustände untersuchen will, 
das ursprüngliche Anfangswertproblem der Inte- 
gration in ein Randwertproblem verwandelt, 
dessen mathematische Behandlung äußerst schwie- 
rig ist, dessen Erledigung noch in weiter Ferne 
zu liegen scheint... Zwei Zugänge hat man 
zunächst zu bahnen versucht. Lord Kelvin, dann 
Lord Rayleigh und zuletzt Sommerfeld haben die 
Methode der kleinen Schwingungen herangezogen, 
das Ergebnis war, wie man weiß, ein negatives. 
Und Prandtl meinte, wenigstens in dem Rand- 
gebiet der turbulenten Bewegung in der Nähe der 
begrenzenden festen Körper, der sog. „Grenz- 
schicht“, in der die Geschwindigkeit der Grund- 
bewegung fast unvermittelt auf Null herabfällt, 
die Verhältnisse mit den klassischen Differential- 
gleichungen der zähen Flüssigkeit beherrschen zu 
können; aber auch hier zeigte sich, daß man quan- 
titative Übereinstimmung nicht erhält, ohne zu 
Annahmen zu greifen, wie sie das Wesen der 
beiden angeführten, phänomenologischen Theorien 
ausmachen. Es steht heute so, und die noch nicht 
abgeschlossenen Arbeiten Oseens dürften daran 
kaum etwas ändern: Die kleinen, mit freiem Auge 
beobachtbaren, außerordentlich wechselvollen, un- 
regelmäßig schwankenden, fast zitternden Be- 
wegungen der Einzelteilchen einer im Ganzen 
ruhig strömenden Flüssigkeit entziehen sich der 
Verfolgung und Darstellung im Sinne der klassi- 
schen Mechanik. Sie weisen gebieterisch hin auf 
eine ganz andere, in den letzten Jahrzehnten auf 
vielen Gebieten der Physik immer mehr zur Gel- 
tung kommende Betrachtungsweise: auf die sog. 
physikalische oder, wie wir hier sagen wollen, die 
mechanische Statistik. 
Ich muß, ehe ich zu einer genaueren Umgren- 
zung dieses Begriffes komme, kurz einen Punkt 
berühren, der mich selbst lange Zeit gehindert 
hat, die allgemeine Bedeutung der hier vorliegen- 
den Verhältnisse zu erkennen. Es sieht so aus, 
als würde es sich bei der eben beschriebenen Er- 
scheinung der Turbulenz um einen ganz vereinzelt 
dastehenden Fall innerhalb oder im Gegensatz zu 
der ganzen übrigen Mechanik handeln. Man 
denkt unwillkürlich an die vortreffliche Überein- 
stimmung der Elastizitätstheorie mit dem wirk- 
lichen Verhalten der meisten festen Körper. Und 
gewiß sind an den Leistungen dieser Theorie die 
Forderungen erwachsen, die man an die Lehre 
von den Flüssigkeiten stellt, ohne sie dort befrie- 
digt zu finden. Aber, wenn man näher zusieht, 
erkennt man, daß die Dinge hier gar nicht so sehr 
anders liegen. Denn die wirklichen Körper ver- 
halten sich doch nur in gewissen Grenzen ela- 
stisch, bis zu bestimmten, ihnen eigentümlichen 
Höchstspannungen — darin liegt eine, wenn auch 
unvollkommene Analogie zu jener vielgesuchten, 
noch wenig aufgeklärten kritischen Grenze, bei 
der die laminare Flüssigkeitsbewegung in die tur- 
bulente umschlägt. Das Wesentliche aber scheint 
mir dies zu sein: Ist die sog. Elastizitätsgrenze 
beim festen Körper überschritten, tritt der sog. 
