


' unmittelbar an die ganze Zahl 
der Geometrie“, 


Blumenthal: 
lichkeit des Invariantensystems war bewiesen, 
aber kein Mittel war gegeben, das endliche System 
wirklich herzustellen. Es bedurfte einer mühe- 
vollen Arbeit, eines tiefen Eindringens in die 
Feinheiten der Modulsysteme, bis 1893 die letzte 
Forderung der Vollständigkeit erfüllt war. 
Und damit hatte sich auch ein neues großes 
Problem ergeben. Kroneckers Modulsysteme hat- 
ten zur Zahlentheorie hinübergewinkt. Im Ver- 
kehr mit den Freunden Hurwitz und Minkowski 
waren die Grundlagen der Idealtheorie geklärt 
worden. Noch 1893 entstand Hilberts einfacher 
Beweis der Zerlegung in Primideale, es stellten 
sich die Fragen der Relativkörper, besonders der 
Relativ-Abelschen Körper, und der Reziprozitäts- 
gesetze. Was hier von Hilbert geschaffen wurde, 
hat tiefste Wirkung gehabt. Kodifiziert in dem 
gewaltigen „Bericht über die Theorie der alge- 
braischen Zahlkörper“ von 1897 hat es die neuere 
Entwicklung der Zahlentheorie recht eigentlich 
begründet. 
Nun aber geschieht etwas Selena Hilbert, 
bis dahin scheinbar der Typus des Arithmetikers 
und Algebraikers, sieht sein Ziel auf diesen Ge- 
bieten erreicht und wendet sich so vollkommen 
von ihnen ab, daß er kaum noch je auf sie zurück- 
gekommen ist. Im Jahre 1891 hatte Wiener auf 
der Naturforscherversammlung in Halle einen 
Vortrag über „Grundlagen und Aufbau der Geo- 
metrie“ gehalten, in dem er namentlich das Ver- 
hältnis des Pascalschen zum Desarguesschen Satze 
besprach. Hilbert hat mir erzählt, daß ihm dieser 
Vortrag eine solche Anregung zur Beschäftigung 
mit den Axiomen der Geometrie gegeben habe, 
daß er ihr gleich auf der Rückfahrt in der Eisen- 
bahn nachgegangen sei: wohl ein Beweis, dab 
die Einstellung auf axiomatische Betrachtungs- 
weise schon früher bei ihm vorhanden war. 
Eine zweite Quelle der Anregung waren 
Minkowskis geometrische Ideen. Der Reiz 
des Gebietes der Elementargeometrie aber lag 
für Hilbert. darin, daß er hier das ein- 
. fachste Beispiel sah, an dem er sein aus der 
Zahlentheorie abstrahiertes Ideal eines vollstän- 
digen Beweisgebäudes außerhalb der Lehre von 
den ganzen Zahlen durchkonstruieren konnte, als 
Gegenbeispiel gegen die von Kronecker vertretene 
und von Hilbert immer leidenschaftlich bekämpfte 
Auffassung, daß aller Mathematik, die sich nicht 
anknüpfen 
lasse, ein unreinlicher Erdenrest anhafte. Im 
Wintersemester 1898/99 hielt Hilbert seine be- 
rühmt gewordene Vorlesung über ‚Elemente der 
Euklidischen Geometrie“, zur Feier der Enthül- 
lung des Gauß-Weber-Denkmals in Göttingen, im 
Juni 1899 veröffentlichte er seine „Grundlagen 
die seither, im Hauptteil unver- 
ändert, in vier- Auflagen erschienen sind “und 
eben wieder vor einer neuen Auflage stehen. Die 
Bedeutung dieser Schrift, der Grund des Zaubers, 
den sie ausgeübt hat und noch ausübt, besteht in 
ihrem systematischen, lückenlosen Aufbau. Un- 
David Hilbert. 









abhängigkeitsbeweise für. gewisse geometrisch 
Axiome lagen bereits vor, z. B. im klassischen 
Falle des Parallelenaxioms, die tiefgehenden 
„Zwischen“-Axiome waren von Pasch erkannt 
und analysiert worden. Neu aber war ein voll- 
ständiges System, in dem alle Axiome auf ihre 
Unabhängigkeit und Widerspruchslosigkeit unter- 
sucht werden, in dem von allen geometrischen — 
Grundlehren (Ähnlichkeitslehre, _Inhaltslehre, — 
Desargues und Pascal, Pythagoras u. a.) die Ab- 
hängigkeit von den Axiomen und die gegenseitige 
Beziehung im einzelnen untersucht und bis zum — 
Ende aufgeklärt wird. “ Die Bedeutung der — 
„Grundlagen der Geometrie“ geht aber viel weiter. ee 
Eine neue logische Methode ist durch sie be — 
gründet worden, die „axiomatische“ Methode der — 
impliziten Definition von Dingen durch die 
Grundgesetze, die sie verknüpfen. Bis weit hin- — 
ein in die Philosophie reichen schon jetzt die Aus- 
wirkungen dieser, Methode. Auf Hilberts eigenes | 
Werk in dieser Riehtung kommen wir noch zu — 
sprechen. .Denn die Axiomatik ist ein so wesent-  — 
licher Teil seines Ich, daß sie ihn als Problem 
immer weiter begleitet und geleitet hat. 
‚Zunächst aber, nach den Grundlagen der Gao: 
metrie, ist es die Reni nase der Variationsrech- 
nung und ihrer Anwendungen, die ihm als Ziel ~ 
vor Augen steht. Von der Zahlentheorie über die 
Elementargeometrie hierher führt erkennbar 
ein Anstieg vom Methodisch-Leichteren zum | 
Methodisch-Schwereren. Die Variationsrechnung — 
soll das Mittel liefern, die mühsamen Grenzwert- 
betrachtungen der Analysis zu beseitigen, indem 
ein einziger Existenzbeweis durch Grenzwertbil- 
dung, der Beweis der Existenz der Lösung des, 
regulären Variationsproblems, die vielen Einzel- — 
betrachtungen ad hoe überflüssig machen soll. _ 
Das Problem ist klassisch, seitdem Riemann sene 
Theorie der Abelschen Funktionen auf dem 
Dirichletschen Prinzip aufgebaut hat. Aker es — 
galt als unangreifbar. Hier ist es wohl die in 
dem Vortrag über „Mathematische Probleme“ er- ~ 
wähnte Methode der genauen Durcharbeitung der 
einfachsten Fälle, die Hilbert ergriffen hat. Im 
Anschluß an Weierstraß hat er die Grundlagen 
der Variationsrechnung, die mühevollen und viel- 
fach durch unnötige Beschränkungen komplizier- 
ten Betrachtungen beim einfachen Problem und ~ 
bei Nebenbedingungen, aufs äußerste vereinfacht 
und übersichtlich gemacht. Dann gelang in der — 
Festschrift zur. Feier des 150jährigen Bestehens 
der, Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften 
im Jahre 1901 der erste Beweis der Existenz der 
Abelschen Integrale mit Hilfe des Dirichletschen - 
Prinzips nach einer völlig allgemeinen Methode, 
die später noch auf manche verwandte Fragen der. 
Funktionentheorie angewandt wurde. 
Hier lenkt zum ersten und vielleicht zum em 
zigen Male ein günstiger Zufall, eine Anregung 
von außen, Hilberts Schaffen in neue Bahnen. 
Das Ziel bleibt das gleiche, die Begründung der 
Analysis auf einem Minimum von Existenzbewei- _ as 



