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ber zu der Variationsrechnung tritt eine 
ue Methode. Im Jahre 1900 hatte Fredholm die 
flésung der linearen Integralgleichung gelehrt 
d damit den wahren Grund vieler herrlicher, 
aber schwieriger Entwicklungen Poincares über 
ie Randwertaufgaben der mathematischen Physik 
fgedeckt. Sofort erkannte Hilbert, daß er hier 
den mächtigen Hebel in der Hand habe, mit dem, 
in Verbindung mit der Variationsrechnung, sich 
ie Analysis regieren lasse. Es ist ein einziger 
renzübergang, der von einem System von. n 
linearen Gleichungen mit n Unbekannten zu 
inem System unendlich vieler. linearer Gleichun- 
en mit unendlich vielen Unbekannfen — in um- 
fassendster Weise ausgeführt mittels des Begriffs 
_ der vollstetigen Bilinearform von unendlichvielen 
_Veränderlichen —, der viele lang erstrebte 
-- Früchte auf einmal zu pflücken gestattet, beson- 
_ ders die Existenz der Eigenwerte, des ,,Spek- 
rums“, und die Entwickelbarkeit beliebiger Funk- 
ionen nach den Eigenfunktionen liefert. Und auch 
las Riemannsche Problem der linearen Differen- 
tialgleichungen mit gegebenen Verzweigungen 
und gegebener Gruppe, das der reinen Variations- 
ethode widerstanden hatte, mußte sich der Ge- 
walt der Integralgleichungen fügen. 
 Variationsrechnung und Integralgleichungen 
sind heute die unbedingt herrschenden Methoden 
- in-der Funktionentheorie, die Literatur ist fast 
- - unübersehbar geworden, das Wort „Hilbertschule“ 
“bezeichnet besonders den Kreis der Jünger auf 
~ diesem Arbeitsfelde, und Hilberts Darstellung der 



















I 
_ Integralgleichungen, wie er sie in seinen 6, 
‚später als Buch zusammengefaßten Noten 
„Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linea- 
- ren Integralgleichungen“ niedergelegt hat, ist bis 
auf die Bezeichnungen und die Kunstausdrücke 
| maßgebend geblieben. 
Die Veröffentlichungen über Integralgleichun- 
gen fallen, mit Ausnahme der 6. Note vom Jahre 
1910, in die Jahre 1904 bis 1906. Mit diesen 
F jahren schließt in Hilberts Leben eine Epoche 
ab, die sachlich als die rein-mathematische, ihrem 
Wesen nach als die heroische bezeichnet werden 
kann, die Epoche des Ringens mit den alten 
"mathematischen Problemen, die erst fallen muB- 
ten, bevor der Weg nach außen frei war. Im 
Jahre 1905 wurde zum erstenmal der Bolyai- 
reis der Ungarischen Akademie erteilt, der be- 
stimmungsgemäß „dem Autor der hervorragend- 
sten mathematischen Untersuchungen der letzten 
25 Jahre“ zuzufallen hat. Die Kommission mit 
- Darboux als Präsidenten und Klein als Referen- 
en nannte als einzige in Betracht kommende 
aa Kandidaten Hilbert und Poincaré, erkannte den 
reis Poincaré zu, „dessen Untersuchungen be- 



















eislauf um das Gesamtgebiet der Mathematik 
ollendet haben“, beschloß aber gleichzeitig, in 
. m Berichte der Arbeiten Hilberts ebenso aus- 
hrlich zu gedenken wie der ‚Arbeiten Poincares. 
Be t ur 
_klarter Ruhe. 
‘eits im Jahre 1879 einsetzen und sozusagen einen . 

Be a nr FE 

‘David Hilbert x 69 
„Denn sie würdigt die universelle Bedeutung der- 
selben in vollem Maße und ist überzeugt, daß sie 
je länger, je mehr zu einer Rolle von größter Be- 
deutung berufen sind.“ Ich bin damals von 
Klein zu einer sehr eingehenden Besprechung 
über die Vorarbeiten zu diesem Gutachten heran- 
gezogen worden und erinnere mich einer früheren 
Fassung dieses letzten Satzes, die prophetischer 
klang, etwa so: „Hilbert wird noch ein ebenso 
umfassendes Gebiet umspannen wie Poincare.“ 
Man wird ex eventu bedauern, daß diese Fassung 
durch eine farblosere ersetzt worden ist, Denn 
gerade zu dieser Zeit gab Hilbert dem Trieb nach 
extensiver Forschung Lauf, der ihn noch heute 
beherrscht. Er gehört seitdem den mathema- 
tischen Anwendungen zu, in demselben Umfang, 
wenn auch in anderer Richtung als Poincare. 
Nur noch einmal ist er zu einem rein-mathe- 
matischen Problem zurückgekehrt, um es einer 
unerwarteten Lösung entgegenzuführen, und zwar 
zu einem, dessen er in seinem Pariser Vortrage 
nicht gedacht hat. Der von Waring aufgestellte 
Satz, daß sich jede ganze Zahl als Summe einer 
begrenzten (nur von dem Exponenten abhängigen) 
Anzahl nter Potenzen ganzer Zahlen darstellen 
lasse, war im Jahre 1908 Gegenstand verschiede- 
ner Erörterungen und glücklicher Entdeckungen 
gewesen, die die Erkenntnis wesentlich gefördert 
hatten. Insbesondere war man auf gewisse Iden- 
titäten aufmerksam geworden, die ein Vielfaches 
der nten Potenz einer Summe von Quadraten 
durch eine Summe von (2 n)ten Potenzen linearer 
Funktionen mit ganzen Koeffizienten ausdrücken. 
Aber erstens fehlten die Mittel zur allgemeinen 
Aufstellung dieser Identitäten, zweitens hatte man 
sie nur dazu benutzt, um den Watringschen Satz 
von n auf 2n zu übertragen.- Mittels einer In- 
tegralmethode, die durch ihre anscheinende Selbst- 
verständlichkeit an den Beweis für die Endlich- 
keit des Invariantensystems erinnert, stellt Hil- 
bert zunächst die gesuchten Identitäten allgemein 
her, und dann zeigt er auf einem höchst kunst- 
vollen Wege, daß sie nicht allein zur Übertragung 
von n auf 2 n, sondern zum unmittelbaren Beweise 
des lang umstrittenen Waringschen Satzes dienen. 
Diese Arbeit, eine der merkwürdigsten, die er ge- 
schrieben, hat Hilbert am 6. Februar 1909 dem 
wenige Wochen zuvor verstorbenen Minkowski 
zum Andenken geweiht. 
Wenn ich die rein-mathematische Epoche die 
heroische genannt habe, muß ich wohl die fol- 
gende als die klassische bezeichnen. Aber sie ist 
alles weniger als klassisch in dem Sinne abge- 
Goethe spricht einmal zu Ecker- 
mann von gewissen Naturen, die er „genial“ nennt, 
und mit denen es ‚eine eigene Bewandtnis“ habe: 
„sie erleben eine wiederholte Pubertät, während 
andere Leuie nur einmal jung sind“. Die Jahre, 
von etwa 1904 an, als Hilbert im Verein mit 
Minkowski zur Eroberung der Physik auszog, 

