





Hilbert als Algebraiker und Arithmetiker 
nem weiteren Kreise zu schildern, erscheint als 
eine Unmöglichkeit. Und, was den Arithmetiker 
betrifft, so ist es und bleibt es auch eine solche. 
Ein Mathematiker, der in dem Wirkungsradius 
eines Kunstwerks einen wesentlichen Faktor 
Brenss gesamten Wertes sieht, wird sich nicht 
leicht dieses Eingeständnis abringen, daß der er- 
_ habenste Teil seiner Wissenschaft einen so klei- 
4 nen Aktionsbereich haben soll; mit wehmiitigem 
|  Neid wird er zusehen, wie der Musiker, der Maler 
alle Welt mit seinen Schöpfungen erfreut, wie 
|  aurzeit selbst der astronomische Nachbar mit 
seinen Fixsternbewegungen, wie der physikalische 
| mit seinen noch in verzaubertem Halbdunkel zir- 
Ei: -kulierenden Elektronen, mit seiner Umformung 
3 von Raum- und Zeitbegriff die Gemüter der Ge- 
_ bildeten bewegt. Derjenige aber, der in Welt- 
 abgeschlössenheit einen Ruhmestitel der Mathe- 
|  matik erblickt, der eine mathematische Theorie 
= nur dann höchsten Reizes wert findet, wenn sie 
' nur weniger Gelehrter Gemeingut zu sein ver- 
mag, wird in Hilberts zahlentheoretischen Ar- 
beiten, auch ohne sie noch zu kennen, den Kern 
'® 8 seiner Leistung vermuten. Und in Wahrheit hat 
_ Hilbert, vielleicht auch nach seinem eigenen Be- 
wußtsein, seine stärkste Kraft an dieses Gebiet 
gewendet. Er hat aus Kummers schwer zugäng- 
3 Eichen, von induktivem Material übervollen Ar- 
‘beiten, die wenige vor ihm gelesen haben, und 
_die nach ihm und dank ihm heute nur wenige noch 
zu lesen brauchen, eine Welt von allgemeinen Tat- 
sachen und Thesen herausgeholt; er hat den 
unstet dahineilenden Fluß der Idealtheorie in 
- feste, weite Ufer gebannt und ein Stauweiher 
_ errichtet,. aus dem der nun breit dahinfließende 
- Strom seine stetigen Kräfte bezieht. 
€ Von dem Algebraiker Hilbert zu erzählen, so 



















Bild ‚erhält, "und selbst derjenige einen Eislrack 
dessen le ara Exerzitjen bei der Gier 
E Die Algebra ist nich minder weltfremd wie Ihre 
= ~ arithmetische Schwesterdisziplin. Indessen Hil- 
Bert nimmt zur Algebra eine Fra Stellung 
er wie die eines Kronacker Rai, Gordan; 
es sind Methoden, auf die bei ihrem Auftreten 
keiner — der Bieten gefaßt war. Alge- 
_braische Probleme, die jeder Anstrengung ge- 
spottet hatten, erlogt er damit, wie David 
den Riesen Goliath. Solche Kampfesart ver- 
mag Men das -Interesse auch ee zu 
chts inderde macstellee als einen. EEE 
oßen ee Und dieser Schimmer einer 
" Toeplita: Der Risen eee Hilbert, 
73 



Der Algebraiker Hilbert. 
Von O. Toeplitz, Kiel. 
sich in seinen algebraischen Forschungen ein 
Wesenszug offenbart, der sieh von dem Hinter- 
grunde der Algebra plastischer abhebt als von 
dem seiner vielen anderen Arbeitsgebiete, und der 
ein Grundpfeiler ist für die Analyse des mathe- 
matischen Menschen Hilbert. In diesem Sinne 
soll der Versuch unternommen werden. 
A: 
Hilberts erste und umfassendste algebraische 
Leistung gehört der Invariantentheorie an. Diese 
Disziplin stand in der Zeit von 1860—1890 
in Deutschland auch in höchster Blüte; 
ihre Technik hat der junge Hilbert inten- 
siv in sich aufgenommen und weiterhin so -be- 
wahrt, wie man nur bewahrt, was einem in der 
frühesten Jugend eingeprägt worden ist. Seine 
entscheidende Leistung auf diesem Gebiete be- 
ruht allerdings keineswegs auf dieser Technik; 
darum ist es auch ganz einfach, sie hier zu kenn- 
zeichnen, wenn man nur zuvor die Idee, die über- 
haupt der Invariantentheorie zugrunde liegt, ver- 
deutlicht hat. Durch die weite Verbreitung, die 
der Relativitätsgedanke heute gefunden hat, 
scheint überdies dem weit einfacheren Invarian- 
tenbegriff der Weg ins naturwissenschaftliche 
und philosophische Publikum vollends geebnet. 
Die Grundidee von Descartes, mittelst zweier 
zueinander senkrechter Achsen jede geometrische 
Figur in ein Rechending umzuwandeln, ist wun- 
derschön; sie hat nur den einen Mangel, daß jenes 
Rechending nicht allein von der vorliegenden 
Figur, sondern auch noch von der ‘Wahl des Koor- 
dinatensystems abhängt. Verlegt man dieses, so 
entspricht der nämlichen Figur ein anderes 
Rechending. So lautet z. B. die Gleichung der 
Ellipse: 
= et A 
Pre 
wenn man die Achsen der Ellipse als Koordi- 
natenachsen wählt; legt man ein anderes Koordi- 
"natensystem zugrunde, so wird die Gleichung der 
Ellipse in irgendeine andere Gleichung 2. Grades 
zwischen & und y übergehen, von der Form: 
azv+2beytcytda+tey+f=0 . 2 
Es ist dies deshalb so unangenehm, weil man beim 
Operieren mit. diesem Rechending, wenn man 
sorglos rechnet, jeden Augenblick auf Ausdrücke 
stößt, die nicht mehr an der Ausgangsfigur geo- 
metrisch gedeutet werden können, die also für das. 
geometrische Ziel der Untersuchung abwegig 
sind. Würde man z. B. aus (2) im Laufe der 
Rechnung den, Ausdruck 
d—4af Cs 
eee et ew ww. CB 
a? 
ableiten, so trate dieser Fall ein. Natürlich wäre 
es leicht, auch diesen Ausdruck zu deuten: er ist 
10 

