




~ punkte der Ellipse mit der x-Achse voneinander. 
eigentümliche Größe; denn sie verändert sich, 
wenn man unter Festhaltung der Ellipse die x 
Achse verlegt. 
Dem Physiker — das sei für diesen einge- 
schaltet — ist dieser Übelstand wohlvertraut, und 
er ist für ihn der Anlaß, sich der Vektorrech- 
nung zu bedienen. Denn der Skalar eines Vek- 
tors: 



ge = 9? pP. . 4 
hat die angenehme Eigenschaft, bei jeder Dre 
des räumlichen Koordinatensystems ungeändert 
zu bleiben; und für ‘die Figur zweier Vektoren 
hat außer ihren beiden Skalaren noch ihr inneres 
Produkt das gleiche Verhalten: 
rn? = rd + Ses ar Zi", ro? a 7% = Yo? ae 2% 
11 Pq COS P =X 0y + YıYa + 2 29 

und, anstatt mit den einzelnen Koordinaten zu 
rechnen, sich auf einen Kalkül mit diesen Größen 
beschränkt, so ist man sicher, immer im Rahmen 
solcher Bildungen zu bleiben, die eine unmittel- 
toren gestatten. 
Schon lange vor den Physikern hatten die 
Geometer an diesem Ubelstand der analytischen 
Geometrie das gleiche Argernis genommen und 
sich deshalb von ihr abgewendet; so war in der 
ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts die synthe- 
metrisch an den Figuren operiert. Ihr Wett- 
drängt, auch ihrerseits diesem Übelstande Rech- 
nung zu tragen; das Ergebnis war die Invarian- 
tentheorie. Man lenkte seine Aufmerksamkeit 
systematisch auf diejenigen Ausdrücke, die bei 
jeder Verlegung des Koordinatensystems ihren 
Wert behalten und nannte sie „Invarianten“. Die 
Ausdrücke (4) und (5) der Vektorrechnung sind 
also Invarianten; im Bereiche der Ellipsenfigur 
“waren u. a. — man kann es unschwer nach- 
rechnen — | 
hy SOE Go El 
invariante Ausdrücke, also Ausdrücke, die eine 
geometrische Deutung an der Ellipse gestatten. 
Diese Deutung ist leicht gefunden; denn wegen 
ihrer Invarianz behalten diese Ausdriicke ihren 
Wert, wenn man das Koordinatensystem z. B. in. 
die Ellipsenachsen legt; dabei geht die Gleichung 
~~ (2) der Ellipse in die Form (1) über, es wird also: 



a a b= Ors i z 
ER Pp q 
und daher: 
: 23 1.. 47 : 
Be 7 
D> at ge les gage ‘ 
ie: sind ji, j2 hiermit wirklich geometrisch gedeutet; 
das Quadrat des Abstandes der beiden Sehnitt- 
Aber das ist keine der Figur der Ellipse als solehe. 
Lo 
Wenn man also diese Größen besonders benennt 
bare Deutung an der Figur der vorgelegten Vek- 
tische Geometrie zur Blüte gelangt, die rein geo- 
bewerb hat die analytischen Geometer dazu ge- 
£ ach. 
.von 
ns p, q die Längen der Achsen der Ellipse sind, | 
syeipens folat — was bald g 
Be durch an von AT) 
ht Vj?—4) =, ees =i ; 
a 2 ae Br > E ; = 
Wir können uns nun dem Gedanke es 
Hilbertschen Theorems einen Schritt näherı 
dem wir zum Begriff des vollen Invarian 
systems aufsteigen. Es ist dem Physiker dure 
aus geläufig, daß man aus ne Ve 



















A =I 
die ganze Ficur der beiden Vektoren geometri sch 
bestimmt. Damit ist ein Überblick über allı 
varianten dieser Figur gefunden. Aber der Ke 
punkt der Angelegenheit ist dabei noch ni ht 
eigentlich berührt; er wird am Beispiel - der EI- 
lipse deutlicher hervortreten. Auch hier ist klar, 
















D; q geometrisch völlig bestimmt ist (Ellipsen mit ~ 
den gleichen Achsenlängen sind Ka 




drücken müssen; und da p, q ‘Homesite ver! 
(8) durch 71, 72 ausgedrückt sind, müssen 
also auch alle Invarianten durch 41, je ausdriic 
lassen; z“ B. wird, um GB Fall 









Aber en Deus hate wie 1 
aus (8) abliest, sich als See 









Eee gewonnen; ze oc Be der Sae ae 
ist ein anderer: In den Ausdruck fiir p? geht 
Wurzelzeichen ein; es wird in Anbetracht desse : 
also etwas ganz Be sein, wenn man aus- 
sagt: ‚ist, eine Invariante eine ganze Hao 




Hy 




stets als ganze rationale Verbindung von is, 
darstellen, wie z. B.: | 
(a—c)? +4 = (a+ 0? —4ac— = 
1) Der Leser, der noch einen ce ‚hie 
verweilen will, kann sich auch von dem Beweise dieser 
Tatsache und damit von ihrem Kaliber eine Vorstell 
Denn da j eee sein soll, muß ‚spezie 
Hededap= a 











pro 


ist es also Seh eine : ganz Ta Verbin 


= und as "Wegen der Invarianz gilt aber d 



gleiche, wenn man das Koordinatensystem "nochn 
abändert, jedoch nur so, daß die beiden Ellipsenach 
ihre Rolle vertauschen ;. daraus geht hervor, daß R 
symmetrische Verbindung seiner beiden Argu r 
BAR: 
„le 
Poe 






sagt, daß alle ee Verben zwe 
gumente sich ganz rational aus deren Summ 
Produkt zusammensetzen lassen, also wegen (7 
aus dex Pad Größen jy je Soe 





