and Aa Tatbestandes nennt man 





















































: fundamentale Problem der Invarianten- 
> besteht nun darin, zu irgendeiner gegebe- 
Invarianten, durch die. sich alle übrigen ganz- 
ional ausdriicken lassen, und man wird aus 
 erérterten Beispielen einen Begriff von der 
tur dieses Problems entnehmen. Nur muß 
an hinzufügen, daß die klassische Invarianten- 
Bi theorie sich in Wahrheit vorzugsweise mit solchen 
- Ausdrücken befaßt, die nicht nur bei starrer Ver- 
_ legung des Koordinatensystems unverändert blei- 
: ben, sondern auch beim Übergang zu schiefwink- 
ligen Koordinaten oder zu denjenigen noch all- 
. gemeineren, die der Geometer projektive nennt; 
uch Hilberts Arbeiten gelten ganz Invarianten 
diesem Sinne. Der Leser wird sich vorstellen, 
daß bei Figuren, die nicht aus einer Ellipse, son- 
| dern aus einer Kurve oder Fläche höherer Ord- 
nung oder gar aus mehreren solehen Gebilden be- 
ht, die Aufstellung des vollen Invarianten- 
tems sehr viel schwieriger ist als in dem Falle 
er Ellipse. Ja es ist zunächst überhaupt frag- 
h, ob man bei einer solchen beliebig verwickel- 
ten Figur stets eine endliche Anzahl von Inva- 
-rianten herausgreifen kann, durch die sich alle 
anderen ganz-rational ausdrücken lassen. Dieses 
roblem von der Endlichkeit des Invarianten- 
systems ist es, das Hilbert gelöst hat. 
> Durch Ausbildung einer besonderen Technik 
- hatten die Invariantentheoretiker vor Hilbert für 
immer verwickeltere Figuren die Aufstellung des 
- vollen Invariantensystems auszuführen versucht; 
es waren gigantische Rechnungen, mit denen Gor- 
dan das Problem auf diesem expliziten, konstruk- 
tiven: Wege hatte meistern wollen, und im Falle 
eindimensionaler Figuren tatsächlich gemeistert 
te. Es ist unmöglich, von dem Gedanken, mit 
Hilbert es bewältigte, so wunderbar durch- 
ichtig er ist, hier einen Begriff zu geben. Aber 
geht auf Grand der entwickelten Vorstellungen 
und dazu wurden sie so ausführlich gegeben 
— een an, das Verhältnis der en 

Wenn man das Verfahren analysiert, mit dem 
bert die Existenz des endlichen Invarianten- 
sy ems erweist, so steht am Anbeginn desselben 
ne SchluBweise wie diese: unter allen In- 
: “dab es. eine Solche be muß; sei Jı eine 
‚Und : aus Er einen jt werden dann 
e pie See ist, "Wollte man Bu dam 
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else © ein ‘Verfahren’ extrahieren, um im Falle 

rolles Invariantensystem* der Ellipsen- - 
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eine einzelnen Figur tatsächlich das volle System 
aufzustellen, so würde man dafür keinerlei Hand- 
habe finden; und fände man sie, so würde man 
auf diesem Wege zu einem Verfahren gelangen, 
das schon bei den einfachsten Figuren, deren 
volles System man anderweit beherrscht, von 
einer lächerlichen Kompliziertheit wäre. Eben 
das war die große Überraschung an Hilberts 
Lösung, und es ist ihr Kernpunkt: Hilbert er- 
kannte, daß eine faktische Aufstellung des vollen 
Systems im allgemeinen Falle unerreichbar ist 
und zeigte, daß man das Problem lösen kann, in- 
dem er auf das einfache Verfahren zur faktischen 
Herstellung verzichtete. Es ist charakteristisch, 
wie Gordans ganzes Gefühl sich zuerst dagegen 
auflehnte, was hier geschah; sein eigenes großes 
Ziel war hier erreicht, aber unter Preisgabe aller 
der imponderablen Nebenforderungen, die in 
seinem Bewußtsein und in dem der meisten In- 
variantentheoretiker unlösbar mit der Bezwin- 
gung des Problems verbunden gewesen waren. 
Der weitere Verlauf der Angelegenheit be- 
leuchtet diese Sachlage noch greller. Hilbert 
schritt über den Endlichkeitssatz sofort hinaus 
zum positiven Aufbau einer Theorie der Invarian- 
- tenkörper, d. h. zu dem näheren Studium derjeni- 
gen Umstände, die dem vollen Invariantensystem 
durch den Zusatz des Wortes „ganz rational“ er- 
wachsen — Umstände, die in dem einfachen Bei- 
spiel der Ellipsenfigur sich noch nicht bemerkbar 
machen, aber bei einer Figur, die aus einem Vek- 
tor und einem Tensor besteht, bereits auftreten?). 
Aber die übrigen Invariantentheoretiker nahmen 
daran keinen aktiven, mitarbeitenden Anteil; es 
hätte wohl eine neue Generation von Invarianten- 
theoretikern erst heranwachsen müssen, die dazu 
gewillt gewesen wäre. Ehe es dazu kam, war die 
Invariantentheorie längst aus der Mode und auch 
Hilbert hatte seinen isolierten Posten verlassen 
und sich der Zahlentheorie zugewendet. Nur die 
Theorie der Formenmoduln, die er in diesem Zu- 
sammenhange geschaffen hatte, ist bis zum heu- 
tigen Tage lebendig geblieben, übrigens ohne 
seine weitere eigene Mitwirkung. Sie hat sich 
als berufen erwiesen, für den Problemkreis des 
sog. Noetherschen Theorems ähnliches zu 
leisten, wie Hilberts Endlichkeitssatz für 
die Invariantentheorie: nämlich die genauere 
Einsicht in die Natur der Singularitäten alge- 
braischer Kurven und Flächen, die Noether für 
den Fall ebener Gebilde durch sein Theorem ex- 
plieite erlangt hatte, und die im Raume ange- 
siehts der Kompliziertheit der Tatsachen, wie es 
scheint, nicht ebenso explieite erlangt werden 
kann. Und hier ist es Noether, der soeben dahin- 
geschiedene Nestor der algebraischen Geometrie, 
2) Hier lassen sich alle Invarianten der Figur 
durch 6 unter ihnen ausdrücken; aber damit es ganz 
— rational gehe, wie im Falle der Ellipse mit ji, 7» 
muß man noch eine siebente hinzufügen, die sich 
ihrerseits mit Hilfe von Wurzelzeichen durch die ersten 
6 ausdrücken läßt. 

