


a | Toeplitz: Der Algebraiker Hilbert. es. 
selbst, der unablässig in diese Richtung gewiesen 
hat. 
2. 
Seither hat Hilbert noch wiederholt die alge- 
braische Feder ergriffen. Es wäre sehr reizvoll, 
die ganze Reihe dieser kleineren, in sich abge- 
rundeten Arbeiten, zu analysieren und ihre metho- 
dische Verwandtschaft mit der Invariantenarbeit 
aufzuweisen; aber es würde einen zu starken 
Apparat erfordern, den Titeln: „Construction 
algebraischer Gleichungen jeden Grades ohne 
Affekt“, „Darstellung definiter Formen als 
Summe von Formenquadraten“, „neuer Beweis 
der Transcendenz der Zahlen e und x“ (der ein- 
fachste und gangbarste, den wir besitzen), „Lö- 
sung des Waringschen Problems“ einen weithin 
hörbaren Klang zu verleihen. Denn es genügt 
für den Zweck, den sich diese Studie gesetzt hat, 
nicht, die Tatsachen zu skizzieren — das wäre 
bei einzelnen dieser Gegenstände durchaus mög- 
lich —, sondern es gilt das Wesen der Methoden 
herauszuheben. 
Aber Hilbert hat noch einmal eine umfassende 
algebraische Leistung vollbracht, in der Theorie 
der Integralgleichungen und wnendlichvielen 
Variabeln, deren analytische Seite an anderer 
Stelle dieses Heftes zur Geltung kommt. Eine 
große Reihe der verschiedenartigsten Theorien hat 
er hier zu einem gemeinsamen Ganzen vereinigt: 
-die Untersuchungen von H. A. Schwarz über eine 
in eine irgendwelche Kontur eingespannte, 
schwingende Membran, die Picard und Poincaré 
fortgesetzt hatten, die Untersuchungen von 
C. Neumann, Robin und Poincaré über die Rand- 
wertaufgaben der Potentialtheorie, von denen aus 
_ Fredholm die Integralgleichungen entdeckt hatte, 
die Arbeiten Helge von Kochs über unendliche 
Determinanten, die Stieltjessche Kettenbruch- 
theorie, die von Liouville ausgehenden Entwick- 
lungssätze nach Eigenfunktionen linearer Schwin- 
gungsvorgänge, das Riemannsche Probiem mit 
seinen Kontinuitätsmethoden u. a. m. Das eini- 
gende Band für alle diese Theorien ist ein alge- 
braischer Gedanke. Und nun ist es sehr bezeich- 
nend, in welcher Weise sich dieser Gedanke von 
allen diesen einzelnen vorher vorhandenen Theo- 
rien seiner ganzen Wesensart nach abhebt. Es 
sei an einigen der eklatantesten Beispiele er- 
läutert. SER 
Helge von Koch entwickelt eine Theorie der 
unendlichen Determinanten, um daraus die Auf- 
lösung unendlich vieler Gleichungen ersten Gra- 
des mit unendlichvielen Unbekannten abzuleiten. 
Und in der Tat beweist er ganz nach dem Muster 
der üblichen Theorie: wenn die unendliche Deter- 
minante von Null verschieden ist, ist das unhomo- 
gene Gleichungssystem bei beliebigen rechten 
Seiten lösbar, wenn sie verschwindet, das homo- 
gene, usf. Dabei muß er über die Koeffizienten 
des Gleichungssystems gewisse Konvergenzvoraus- 
setzungen machen, damit seine unendliche Deter- 
minante konvergiere. Hilbert streift sofort den 


formalen Apparat expliziter, konstruktiver aL 
sungsformeln von dem Gegenstande ab, d. h. die | 
Determinante schält diejenigen Tatsachen ausder — 
Theorie heraus, die von diesem formalen Apparat — 
frei sind (z. B. aus den genannten beiden Sätzen 
von Helge von Koch den alternativen Satz, daß 
entweder die unhomogenen Gleichungen bei be- 
die homogenen 
liebigen rechten Seiten oder 
Gleichungen lösbar sind) und sucht die wahren 
Bedingungen für diese nackten Tatsachen der ~ 
Lösbarkeit der Gleichungen. Er findet, daß die 
wahren Bedingungen sehr viel weitere sind, und 
auch sehr viel natürlichere als die Konvergenz- 
die Helge von Koch angegeben 
bedingungen, 
hatte, um der Konvergenz seiner. Determinante 
sicher zu sein. ie 
H. A. Schwarz bestimmt aus der Kontur seiner 
schwingenden Membran (es ist Nebensache, daß 
er sich dieser Einkleidung nicht bedient) ihren 
Grundton durch ein iteratives Verfahren, das 
einem Verfahren der Algebra zur Bestimmung 
der Achse eines Ellipsoids (aus seiner Gleichung 
in der allgemeinen Form) in wunderbarer Weise 
nachgebildet ist. Der Embryo von _ Hilberts 
Theorie der Integralgleichungen mit symmetri- 
schem Kern liegt hier zutage. 
ter Absichtlichkeit, die er seinen Schülern als 
Vorbild hinstellt, vermeidet es Schwarz, die 
großen, die allgemeinen Gesichtspunkte auszu- 
‘ sprechen und beschränkt sich darauf, einen großen 
Gedanken, dessen Tragweite er kennt, an einem = © 
konkreten Einzelfall in realer Konstruktion, mit 
expliziten Formeln durchzuführen. Hatte Schwarz 
so gewissermaßen die Hauptachsen eines ganz spe- 
ziellen, bestimmten Ellipsoids im Raume von un- 
- endlich vielen Dimensionen untersucht, so wendet 
sich Hilbert sofort zu dem allgemeinen Ellipsoid 
in diesem Raume und sucht die wahren Bedingun- 
gen, unter denen Grundton und Obertöne, -d. h. 
aber alle unendlichvielen Hauptachsen nach- 
weisbar sind. Er findet, daß dies unter 
Bedingungen von schönster Einfachheit ‘und 
Allgemeinheit der Fall ist, Bedingungen. 
unter denen jenes iterative Verfahren von 
Schwarz durchaus nicht mehr immer funktioniert. 
Und er spannt schließlich jene Bedingungen zu 



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solcher Weite, daß selbst die Kettenbruchtheorie — x 
von Stieltjes ihnen als die Theorie einer be- 
sonderen Art von Ellipsoiden unterbegriffen wer- 
den kann, eine Theorie, die einer gänzlich ande- | 
ren Sphäre entstammt. Der elegante formale 
Apparat, auf dem Stieltjes diese bewunderungs- 
würdige Theorie aufgebaut hat, geht bei Hulbert 
über Bord; durch ein Auswahlverfahren erzwingt 
er die Tatsachen bei den allgemeinen Ellipsoiden, 
die Stieltjes mutatis mutandis bei seinen speziel- 
len erlangt hatte. 
So hat Hilbert in seiner Theorie der unend: 
lichvielen Variabeln ein großes Haus errichtet, in 
dem viele einzelne Untersuchungen 
Wohnungen gefunden haben; bequeme Treppen 
führen von einem Stockwerk zum anderen; In- 
geräumige — 


