
e vorher einander nieht gekannt hatten, 
ee Dauer, 





































ich ihre Zukunft ah so viekostellt, manch 
mderabler Traum ihrer Jugend war hier nicht 
It. Aber es ist ein freies Haus, in dem sie 
wohnen, keinem ist es benommen; den alten Traum 
zur Erfüllung zu bringen; und es ist festgefügt, 
daß nd es mehr einzureißen vermag. 
3. 
So steht der Algebraiker Hilbert in ausgepräg- 
er Eigenart vor uns, wie nicht ein jeder Mathe- 
“matiker. Aus allen Problemen greift er die har- 
fen. Tatsachen heraus, die «klar entscheidbaren 
Fragen, bei denen man von der Überzeugung 
 durchdrungen ist: entweder sind sie lösbar, oder 
man kann den Beweis der Unlösbarkeit führen. 
Sein bekannter Pariser Vortrag über die mathe- 
matischen Probleme ist ein bewußter, großer Hym- 
‘nus auf das klar Entscheidbare. Betrachtet man 
die Mathematik, nicht wie sie sein könnte, son- 
- dern wie sie wirklich ist, als Summe allen mathe- 
 matischen Geschehens, so gewahrt man, daß sie 
Fr mit, dem klar Entscheidbaren nicht erschöpft ist, 
“daß sie von Imponderabilien wimmelt. Es gibt 
synthetische Geometer, die etwas „rein geome- 
gebraiker, die in der Kunst einer symbolischen 
Ss chreibweise, einer Bezeichnungsart, in der ,,Rein- 
heit“ eines Beweises den ästhetisch vollkommenen 
Ausdruck einer Sache durch die Form suchen; es 
gibt Funktionentheoretiker, die etwas „elemen- 
tar“, soll heißen ohne den Cauchyschen Integral- 
_ satz beweisen wollen, und sie zählen keinen ge- 
‘ ringeren als Weierstraß zu den ihrigen; der ange- 
‘ wandte Mathematiker will die Wurzel einer Glei- 
Untersuchungen über die Grundlagen der 
Geometrie haben seit dem Altertum fast alle 
Mathematiker angezogen. Im Beginn des 19. Jahr- 
nunderts bekommen sie mit Entstehung der soge- 
nnten Nicht-Euklidischen Geometrie den Reiz 
eheimnisvoller, schwer verständlicher, kühner 
fast verbotener Forschung. Die 1899 zuerst 
veröffentlichten „Grundlagen der Geometrie“ von 
Ibert enthalten Untersuchungen großer Kühn- 
, aber restloser, iradikaler, manchmal fast pri- 
tiver Klarheit. So ist es zu erklären, daß 
ses, jetzt erheblich erweiterte Werk, obwohl in 
‚eine solche Fülle neuer, tiefer, abstrakter 
leme mit den mannigfachsten mathemati- 
chen Methoden behandelt und erledigt werden, 
e zum 5. Male aufgelegt wird. Das ist in der 
era Rer 

; isch“ oder „rein projektiv“ machen wollen, Al- - 
Als. Sn ist mars der 
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chung „möglichst rasch“ auf 3 Dezimalen be- 
sitzen, und es gibt keinen exakten quantitativen 
Maßstab der Raschheit. Es ist nicht die Absicht 
dieser Zeilen, zu solchen Neigungen Stellung zu 
nehmen, sie für berechtigt oder unberechtigt zu 
erklären. Der Zweck war nur, das scharfe Profil 
sichtbar zu machen, das Hilbert von dieser Seite 
her zeigt. 
Die Frage der Grundlagen der Mathematik ist 
heute von neuem aufgerührt worden. Brouwer, 
Weyl haben das Wort ergriffen und Hilbert selbst 
ist wieder auf die Mauer gestiegen. Es ist un- 
verkennbar, daß Weyl und Brouwer gegen die 
axiomatische Denkweise Hilberts Stellung neh- 
men, daß sie die mathematischen Dinge nicht in- 
direkt aus ihren Eigenschaften, sondern direkt 
durch positive Konstruktionen hergestellt wissen 
wollen, die werdende Folge usw.; der Ruf der 
Rückkehr zu Kronecker, dem sich Hilbert stets 
entgegengesetzt gefühlt hatte, erklingt. Man hat 
im Laufe der Geschichte der Mathematik stets 
nach den Grundlagen gegriffen, wenn der wirk- 
liche Betrieb der Wissenschaft irgendeinen An- 
laß dazu gab. Es drängt sich die Frage auf, ob 
das heute der Fall ist. Offen gewiß nicht. Aber 
im Verborgenen könnte man einen unbewußten 
Zusammenhang ahnen zwischen den Gegensätzen 
der Grundlagendebatten und den gegensätzlichen 
Tendenzen mathematischer Forschung, einer 
etwaigen Reaktion gegen den Algebraiker Hil- 
bert, wie er hier gesehen wurde. Ich möchte die 
Sachlage so formulieren: nur wenn die Grund- 
lagenkämpfer es verstehen werden, sich zu Inter- 
preten solcher tatsächlich im Forschungsbetriebe 
bestehenden Gegensätzlichkeiten zu machen, wer- 
den sie Boden fassen und etwas Wirksames leisten 
können. 
Hilberts geometrisches Werk. 
Von M. Dehn, Frankfurt a. M. 
schienene ,,Traité des propriétés projectives“ von 
Poncelet hatte, durch den die projektive Geometrie 
begriindet wurde. 
Betrachten wir die Probleme und ihre Ge- 
schichte: die Auffindung der mathematischen 
Methode ist fiir die Geschichte des menschlichen 
Geistes von hoher Bedeutung. Dieser Fortschritt 
ist nicht, wie andere, ebenso wichtige, in dunkler 
Vorzeit getan, sondern er ist dem in hellem Licht 
sich entfaltenden griechischen Denken gelungen. 
In der Zeit der Naturphilosophen begonnen, ist er 
im 3. Jahrhundert vor Christi, zur Zeit von Euklid 
und Archimedes, vollendet. Durch die mathe- 
matische Methode ist man befahigt, aus als 
richtig angenommenen Sätzen mit absoluter 
Sicherheit neue Sätze abzuleiten. Es ist ja in 
der Tat erstaunlich, wie man aus den allerein- 
fachsten Erfahrungen (Axiomen und Postu- 

