

8 N , : “Dehn: Hilberts. 
laten) die mannigfachsten, 
doch oft wieder so wunderbar einfachen Eigen- 
schaften der geometrischen Figuren gewinnen 
kann. Durch alle Zeiten ist die ,,gedmetrische 
Weise“ des Schließens bewundert worden, und 
vergeblich hat man oft versucht, sie auf andere 
Gebiete zu übertragen. Besonders klar und mit 
großer Freiheit gehandhabt, tritt sie bei Archi- 
medes auf, wenn er z. B. bei der Bestimmung der 
Kugeloberfläche als Postulat die doch gar nicht 
ganz selbstverständliche Tatsache aufstellt: liegt 
die geschlossene konvexe Fläche F, ganz innerhalb 
der geschlossenen Fläche F,, dann hat F, eine 
kleinere Oberfläche als Fe. 
Freiheit in der Handhabung der Methode von 
manchen späteren Mathematikern bis in unsere 
Zeiten nicht verstanden worden ist. Ein ganz ana- 
loger Fall bei Euklid hat wohl den ersten An- 
stoß zur Beschäftigung mit einer zentrale Frage 
aus den Grundlagen der Geometrie gegeben, näm- 
lich der Frage nach der Unabhängigkeit der geo- 
metrischen Axiome oder Postulate voneinander. 
Euklid hat nämlich nicht gleich zu Beginn 
seines Werkes alle Axiome aufgestellt, vielmehr 
entwickelt er erst eine ganze Reihe von Sätzen, - 
ehe er das berühmte Parallelenaxiom einführt. 
Dies wird von ihm so formuliert: 
„Wenn zwei Geraden mit einer dritten auf der- _ 
selben Seite innere Winkel bilden, deren Summe 
kleiner als ein flacher Winkel ist, so schneiden 
sie sich bei hinreichender Verlängerung auf dieser 
Seite.“ 
Diese Formulierung ist sehr merkwürdig. und 
wohl teilweise deswegen so künstlich, weil Huklid 
vermeiden wollte, daß Teile des Axioms schon 
aus den früheren Axiomen folgen könnten, wie 
es z. B. sein würde bei der Formulierung: durch 
jeden Punkt außerhalb einer Geraden gibt es eine 
und nur eine Gerade, die die erste nicht schneidet. 
Andererseits war die Künstlichkeit des Axioms 
so in die Augen fallend, daß man schon im Alter-- 
tum sich Gedanken machte, etwa so: ein so kom- 
plizierter Satz könne doch gar nicht wirklich 
Grundtatsache sein. Habe #uklid schon eine 
Menge von Sätzen ohne dies Axiom beweisen kön- 
nen, so sei es vielleicht möglich, das Parallelen- 
axiom selbst aus den übrigen Axiomen herzu- 
leiten. So begannen die durch Jahrhunderte fort- 
gesetzten Versuche, das Parallelenaxiom zu ‚„be- 
weisen“. Diese Versuche führten ganz methodisch 
endlich im 19. Jahrhundert zur vollständigen Auf- 
klärung: man hatte natürlich versucht, indirekt 
vorzugehen: wäre das Parallelenaxiom nicht gültig, 
so würden sich die und die merkwürdigen Folge- 
rungen ergeben, z.B. die Winkelsumme im Drei- 
eck könnte nicht zwei Rechte sein, es könnte kein 
 Rechteek und kein Paar ähnlicher Dreiecke 
existieren usw. 
zeitig (um 1830) Lobatschefsky und Bolyai, 
dureh höchst kunstvolle Überlegungen die Tiri- 
gonometrie (d. i. die analytischen Beziehungen 
* 
komplizierten und 
Ich glaube, daß diese | 
-als bloß den Unabhängigkeitsbeweis; sie haben ge- 
Endlich gelang es fast gleich- - 
‚dent die Stellung der Nicht-Euklidischen Geo 








































sich “die Te Tasche a 
Euklidische“ Tirigonometrie ist in cia tached 
Weise verwandt mit der Trigonometrie auf der 
Kugel (der sphärischen Trigonometrie). Die Foı 
meln der Nicht-Euklidischen Geometrie ent- 
stehen aus den sphärischen, indem man alle in 
den Formeln vorkommenden Seiten mitt=)—1 
multipliziert, wobei die Formeln doch alle ree 
bleiben. (Die gewöhnlichen trigonometrisch 
Formeln für die Ebene bleiben übrigens bei d 
sem Prozeß unverändert.) Damit aber war gi 
zeigt: der indirekte Beweis des Parallelenawiom 
ist nicht zu führen. Man kann zu keinem Wide: 
spruch kommen, denn, wenn die _ Nieht- 
Euklidischen Formeln widerspruchsvoll wären, 
dann müßten auch die gewöhnlichen sphärischen 
Formeln zu einem Widerspruch führen. Als 
das Parallelenaxiom ist nicht aus den übrige 
Axiomen zu beweisen. Das war ein wirkli 
großer mathematischer . Fortschritt. Der ers 
Unabhängigkeitsbeweis war geführt, und man 
kann sich gut vorstellen, daß der junge Bolya 
einen wahren Rausch versetzt wurde, als er nac 
Überwindung außerordentlicher Schwierigkeiten ° 
dies ungeahnte Ziel erreichte. 3 
Lobatschefsky und Bolyai haben jedoch, i 
dem sie den durch die geschichtliche Entwicklun 
gegebenen Weg gingen, noch viel mehr erreicht ~ 

zeigt, daß, wenn das Parallelenaxiom nicht gülti 
ist, notwendig die oben angedeutete Nicht- — 
Euklidische Geometrie gilt, sie haben alle Nicht- 
Euklidischen Geometrien aufgestellt. Den 
Unabhängigkeitsbeweis für sich konnte ma 
später viel einfacher führen, indem sich di 
schönsten Realisationen der Nicht-Euklidische 
Geometrie ergaben: zunächst zeigte sich, daß, wie 
die sphärische Trigonometrie auf der Ragen so 
die Nicht-Euklidische (pseudo- -sphärische) Tr: 
gonometrie auf den Flächen konstanter negative 
Krümmung gilt, deren einfachstes Beispiel di 
dureh Rotation der Tractrix um ihre Achse ent- 
stehende Fläche (Pseudosphäre) ist. (Die Gerade 
sind durch die geodätischen Linien zu repräsen 
tieren) (Beltrami). Noch eleganter: die ganz 
dreidimensionale Nicht-Euklidische Geometri 
wird so dargestellt: Punkte: alle Punkte im 
nern einer Kugel; Geraden: alle Geraden, die di 
Kugelfläche schneiden; Bewegungen: alle in de 
Koordinaten lineare Transformationen, die 
Innere der Kugel in sich überführen (Cayl 
Klein), Diesem Resultat ging die bedeutungsvoll 
Entdeckung von Laguerre voraus, daß die Met 
der Euklidischen Geometrie beherrscht wird du 
besonders charakterisierte lineare Baer. 
Transformationen. Be 
Dieser Unabhidieiokeitebeeis zeigt ganz evi 


metrie, aber ganz in Ordnung war. = Bew 
