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edenklich bleibt: sind auch alle Axiome, 
luklid außer dem Parallelenaxiom braucht, 
rücklich in dem Euklidischen Werke oder in 
Darstellungen aufgeführt, oder brauchen 
d und seine Nachfolger vielleicht still- 
igend Axiome, die zwar in der „wirk- 
en“ Geometrie erfüllt sind, in der Nicht- 
idischen nicht? 
In der Tat waren schon Bedenken über die 
ollständigkeit des. Axiomsystems 
e immer wieder verbesserten Ausgaben von 
endres Geometrie, Bemerkungen von Gauß 
r die Notwendigkeit von Anordnungspostu- 
en, die vielen Bemühungen des Vaters Bolyai 
inen einwandfreien Aufbau der Inhalts- 
me sind. dafür Beispiele. Dann kam von 
derer Seite starke Einwirkung: Die seit dem 
sderaufleben der Mathematik sich immer stär- 
-emporhebende ‚Analysis brauchte nach zwei 
rhunderten außerordentlicher Entwicklung 
ne solidere Fundamentierung. Seit der Wende 
. Jahrhunderts wurde die Grundlage der 
en- und Funktionenlehre immer tiefer ein- 
ngend untersucht, bis endlich das Wesen der 
ig "ausgedehnten Größen genügend geklärt 
Ein Teil der Euklidischen Grundsätze be- 
2 eht sich aber auf die für Größen geltenden Ge- 
setze und diese werden dadurch zu geometrischen, 
daß geometrische Dinge, wie Strecken, Winkel, 
" Flächenstücke (meistens stillschweigend) als 
Größen angesehen werden. So lieferte die arith- 
_ metische Untersuchung den ersten wichtigen Bei- 
trag. zu dem neuen festen Bau der geometrischen 
_ Axiome, der von Pasch (1882) durch Ausfüllung 
. zweier erheblicher Lücken in dem Euklidischen 
tem vollendet wurde: Wenn auch Euklid 
ch seine Größengrundsätze die Anordnung der 
cken auf einer Geraden vollständig © be- 
scht, so ist doch durch jene Grundsätze über 
e Anordnung der Figuren in der Ebene natur- 
gar nichts ausgesagt. Hier ergänzt Pasch 
» System durch das mit Recht seinen Na- 
agende Axiom: „jede Gerade, die mit einer 
sseite einen Punkt gemeinsam hat, hat 
mit einer anderen Dreieckseite einen Punkt 
insam.“ Eine andere wesentliche Lücke. bei 
besteht darin, daß er een beim 
IC AEE i DEE hi ag a og: saa 
voraussetzt, 3: die Möglichkeit, etwa 
er mit a een Seiten und Win- 
emann ae de. aber .erstaun- 
srweise in keiner — Grundlegung der ele- 
taren Gacmetria zu finden. Erst Pasch hat 
Beweglichkeit der Figuren durch Postulate 
nuliert und auf diese Weise wohl als erster 
ständiges Axiomsystem aufgebaut. 
aufgetaucht. ' 
‘fachen Eigenschaften des 
t Dehn: Hilberts geometrisches Werk. 79 
cht. Zwar das Bedenken von Jetzt erst war der Weg zu exakten Unab- 
nicht dureh räumliche Betrachtungen 
hangigkeitsbeweisen frei. Da man ein vollstän- 
diges Axiomsystem hatte, so konnte man sich bei 
den Schlüssen ganz loslösen von geome- 
trischer Einkleidung: Punkte, Ebenen, Anord- 
nung, Bewegungen werden von dem spekulieren- 
den Mathematiker allein als System von: Dingen 
und Beziehungen zwischen diesen Dingen aufge- 
faßt, die eben jenen Gesetzen genügen. Dies ist 
die mit vollständiger Klarheit und Konsequenz 
behauptete Plattform des Hilbertschen Werkes. 
Hier sind die mannigfaltigsten Unabhängig- 
keitsbeweise durchgeführt, jeder eigentüm- 
lieh -durch die Stellung in dem Gesamt- 
gebäude der Geometrie und durch die Besonder- 
heit der angewandten mathematischen Hilfsmittel. 
Eng verbunden mit diesen Unabhängigkeits- 
beweisen sind natürlich Abhängiskeitsbeweise, 
d. i. Nachweise, daß bestimmte Axiomgruppen fiir 
den Aufbau gewisser Teile der Geometrie ge- 
nügen. 
Durch alles dies wird das philosophische Be- 
dürfnis nach Aufdeckung der Wege, die der 
menschliche Geist bis zur Erkenntnis der ein- 
Raumes -zurücklegen 
muß, wenig "befriedigt. Außer dem Kantischen 
Motto findet sich in Alberts Buch nichts, was 
direkt mit philosophischen Dingen zu tun hat. 
Es ist ausschließlich reinste Mathematik, in ge- 
wissem Gegensatz etwa zu Euklid und Pasch, die 
daneben der Verwurzelung der’ geometrischen 
Axiome in der Außenwelt ein Stück weit nach- 
gehen. — Der Gegensatz von Mathematik und 
Philosophie tritt auch hier stark hervor: das 
mathematische Schaffen ist im stärksten Maße 
aktiv, aufbauend, fast unzerstörbar aufbauend; 
den Philosophen führt tiefst empfundenes Be- 
dürfnis nach geordnetem Erkennen und Begreifen 
in Jastender Arbeit doch immer nur zu um- 
fassenderer Betrachtung — das Erreichen des 
Zieles bleibt stets ein trügerischer Traum. Den 
Mathematiker aber schützt vor jeder Uberhebung 
die Gewißheit, daß alles von ihm Geschaffene von 
einem höheren Standpunkte, als wir ihn heute 
haben, selbstverständlich ist. Schon manches 
Gewirr von Sätzen, die in mühevoller Arbeit auf- 
gedeckt wurden, erscheint vom höheren mathe- 
matischen Standpunkt als beinahe selbstverständ- 
liche Folge aus wenigen einfachen Tatsachen. 
(Man vergleiche z. B. die Kegelschnittlehre im 
Altertum und die moderne mit den Methoden der 
projektiven Geometrie entwickelte.) Dieses 
Schicksal des Selbstverständlichwerdens würde 
auf einer höheren Entwicklungsstufe die ganze 
: Mathematik treffen. 
Ich will nun versuchen, die wichtigsten Re- 
sultate Hilberts darzustellen: 
I. Grundlagen der projektiven Geometrie. Im 
Anfang des 19. Jahrhunderts wurde durch Pon- 
celet die projektive Geometrie (d. i. die Lehre 
- von den durch Projektion sich nicht verändern- 
den Eigenschaften der geometrischen Gebilde) 

