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systematisch begründet und entwickelt. An diese 
große Darstellung knüpften sich sehr bald Über- 
legungen über die axiomatischen Grundlagen. 
Eine Menge typisch projektiver Sätze, z. B. der 
Satz über das vollständige Vierseit, der Desar- 
guessche Satz über die perspektiven Dreiecke 
[gehen AA’, BB’, CC’ durch einen Punkt, dann 
schneiden sich AB und A’B’, BC und BO’, CA 
und O’A’ auf einer Geraden, s. Fig. 1] lassen sich 
auf Grund der elementaren projektiven Axiome 
der Verknüpfung und Anordnung (in: Zukunft 
mit L bezeichnet) ableiten. Doch gelang es nicht, 
andere für die weitere Entwicklung sehr wichtige _ 
beweisen, z. B. den sogenannten 
[Liegen A,, Az, As und Bı, 
Sätze zu 
Pascalschen Satz. 
Be, Bs je auf einer Geraden, dann schneiden sich 
; AıBs und AsBı, AaB; und As3Bo, AsBı und AıBı 
Bor 2a) 
‚auf einer Geraden, s. Die Ableitung 

Fig. 1. Desarguesscher Satz. 
A, 

Ay 
Fig. 2. Pascalscher Satz. 
‘dieses Satzes gelang zunächst nur, wenn man 
noch irgendein Stetigkeitspostulat hinzunahm 
(v. Staudt, Darboux u. a.). Es entstehen die 
Fragen: - 
1. Ist die Ableitung der projektiven Geometrie 
nur mit Hilfe der L-Postulate möglich ? 
Wenn 1 zu verneinen: 
2. Welche projektiven Sätze folgen allein aus 
den L-Postulaten? 
3. Ist es möglich, ohne Stetigkeit,*aber mit 
Benutzung der Kongruenzpostulate die projektive 
Geometrie aufzubauen? 
Diese Fragen wurden zunächst durch einen 
Vortrag von Wiener (1891) (dadurch vereinfacht, 
daß er den Satz aufstellte: Alle Sätze der ebenen 
projektiven Geometrie lassen sich mit Hilfe der 
elementaren ebenen Axiome der Verknüpfung 
und Anordnung (in Zukunft mit ZL». bezeichnet) 
beweisen, wenn der Desarguessche und Pascalsche 
zeichnet) und den verschiedenen Postulaten ver- 





































Satz als gültig vorausgesetzt a Da dr Des 
arguessche Satz aus der za der L- 
if Jahre 1898 hat F. Schur den Pasaalschon 
Satz mit Hilfe der üblichen Kongruenzaxiome, ~ 
ohne Hilfe eines Stetigkeits- (sowie des Paralle- 
len-) Axioms abgeleitet. Damit war zum erste 
mal die elementare Euklidische Geometrie ohne 
Stetigkeit begründet, denn dazu ist eine von der 
Stetigkeit unabhängige Proportionslehre nötig, 
die zu entwickeln schon lange das Ziel nachdenk- © 
licher Geometer war, z. B. @. Saccheris (ea. 1700), ° 
der die Euklidische Proportionslehre genau so © 
wie. die Einführung des Parallelaxioms als 7 
„schimpflichen Fleck auf dem herrlichen Körper 
der Euklidischen Geometrie“ empfunden hat. Aus 
den allgemeinen Entwicklungen der projektiven — 
Geometrie ergibt sich nun die Proportiens aaa , 
durch einfache Spezialisierung. 
Die dritte der Fragen über die: Grundlagen 
der projektiven Geometrie war damit positiv be: 
antwortet. Hilbert hat nun. die beiden andern ° 
vollständig erledigt und das hellste Licht über die 
vielfachen Beziehungen der Sätze von Desargues 
und Pascal (von jetzt an mit Des und Pas be- 
breitet. 
Die Resultate faoae sich etwa so darstellen: 
1. Des, der eine leichte Folge aus L ist, kann 
aus I, (den ebenen L-Postulaten) nicht bewiesen 
werden, selbst wenn man Stetigkeitsaxiome mit- 
benutzt. 
2. Unter Benutzung von Des kann ‘man ie 
L» die Ebene analytisch machen, d. i. den Punk- | 
ten Paare von Zahlen (Koordinaten) zuordnen, ~ 
Addition und Multiplikation dieser Zahlen durch 
geometrische Operationen erklären, wobei die ge- 
samten Rechnungsgesetze mit Ausnahrae der 
Kommutativität der Multiplikation sich als gülti 
erweisen. „Die Koordinaten der Punkte einer Ge 
raden befriedigen bestimmte lineare Gleichungen 
Eine solche zweidimensionale analytische Geome- 
trie kann man leicht zu einer dreidimensionalen 
erweitern, die Gebilde des Raumes werden dabei 
dapssstsik durch geeignete Gebilde der Ebene, 
genau so wie es bei der gewöhnlichen ,,darstel- 
lenden Geometrie“ der Fall ist. Es ‚erweist. sich 
also Des als vollständig äquivalent mit der Tat- 
sache, daß die ebene Geometrie in die räumliche 
eingebettet werden kann. Man kann etwa sym- 
bolisch schreiben: u 
Des = L~ fp fice E | 
Wir nehmen das Resultat von 3 voraus, nicks : 
dem in einem solchen, mit Hilfe von Des ge- 
schaffenen Zaklansvatam nicht notwendigerweise 
die Kommutativität der Multiplikation gilt und. 
kommen dadurch zu der Beantwortung der 
Frage 2: Was folgt aus L allein? Jeder Satz in 
unserer Geometrie ist durch die . Koordinaten- 
einführung zu einem analytischen Satz, zu eine 
„Formel“ Ten. In der allgemeinen, ‚au 

