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ind, ‚die ohne Anwendung der Kommutativität 
r + Multiplikation gelten. Z. B die Formel: 
(a+b)? = a@+t+abt+bat Bb 
tspricht einem Satz, der: in jeder L-Geometrie 
t, dagegen nicht die Formel 
(a + b)? = a®?+2ab+ 02. 
8. Da mit Hilfe der Stetigkeit aus “E Pas 
ind damit die. ganze projektive Geometrie abge- 
_ leitet werden kann, müssen wir uns, um Geome- 
- trien zu finden, in denen trotz L die projektive 
Geometrie En eilt, mit unstetigen, sogenannten 
N icht-Archimedischen Geometrien beschäftigen. 
{Bei Archimedes lautet das Stetigkeitspostulat: 
Es gibt stets Vielfache von a, die größer als eine 
- vorgegebene Größe b sind.] Solche Nicht-Archi- 
-medischen Geometrien hat zuerst Veronese 
- (1891) untersucht und dabei etwa denselben Weg 
eingeschlagen wie Bolyai und Lobatschefsky, Er 
| ~ hat nämlich. versucht, ganz allgemeine Geome- 
rien aufzubauen, in denen es „aktual“ unendlich 
roße und deswegen auch aktual unendlich kleine 
‘ Strecken gibt. Hierbei war aber die Wider- 
 spruchslosigkeit der auftretenden geometrischen 
Phänomene nicht klar zu erkennen. Hilbert kon- 
truiert nun zunächst eine ganz spezielle Nicht- 
rchimedische Geometrie, der er Zahlen zu- 
_ grunde legt, die sich nach Potenzen eines Para- 
~ meters t entwickeln lassen-und deren Anordnung 
durch den Koeffizienten der niedrigsten Potenz 
‘von ¢ entschieden wird. Aus Tripeln . solcher 
"Zahlen ist es nicht schwer, eine zweifellos wider- 
| spruchsfreie Geometrie aufzubauen, in der von 
| allen Postulaten allein das Archimedische Postu- 
Tat nicht gilt. 
Ein weiterer Schritt ist nun der Aufbau eines 
- Nicht-Archimedischen Zahlensystems, in dem das 
' Gesetz der Kommutativität der Multiplikation 
cht gültig ist. Dazu benutzt Hilbert Zahlen, 
e sich nach Potenzen zweier Parameter s und 
entwickeln lassen. Bei ihrer Multiplikation ist 
e Beziehung 
Ruh iS = 28-4 
DUW' - Durch diese Festsetzung ‘ist das 
Produkt zweier Zahlen stets wieder als Summe 
n Gliedern der Form aims” darstellbar Die 
Anordnung wird entschieden durch den Koeffi- 
ienten desjenigen Gliedes unter den Gliedern 
mit kleinstem n, für das m den kleinsten Wert 
hat. Mit Hilfe dieses „nicht kommutativen“ 
ahlensystems ist es nicht schwer, eine Geometrie 
fzubauen, in der Pas nicht gilt, also auch nicht 
ie ganze projektive Geometrie. 
Die mannigfachen Beziehungen, die damit 
wischen grundlegenden Sätzen der Geometrie 
uf gedeckt sind, macht vielleicht folgende Übeı- 
‘icht klarer [hierbei sind folgende Bezeichnungen 
gebraucht: A: Archimedisches Postulat; B: Po- 
ulate der Bewegungen ; P: EPesektive Geome- 
ri eK M.: Gesetz. der Kommutativität der Mul- 
A]: 
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tiplikation; >: hat zur Folge; +: hat nicht zur 
Folge]: 
Desarguesscher Satz und Lageaxiome. 
L>Des (Desargues, Poncelet) 
Ly + Des end, : 
Ly > Des ! (Hilbert) 
Projektive Geometrie. 
L+A>P (vo. Staudt) 
L+ B>P (Schur) ’ 
Lp P (Hilbert) 
Pas + Des + L, > P (Wiener) 
Pas + Ly > P (Hessenberg) 
Arithmetisierung. 
Die Geometrie ist ein dreifach aus- 
gedehntesSystem gewöhnl. Zahlen (Descartes) 
L-++A> Die Geometrie ist ein dreifach aus- 
gedehntesSystemgewöhnl Zahlen. (v. Staudt) 
L + B > Die Geometrie ist ein dreifach aus- 
gedehntes systemgewöhnl. Zahlen (Schur) 
L > Die Geometrie ist ein dreifach aus- 
gedehntesSystem gewöhnl. Zahlen 
L > Die Geometrie ist ein dreifach aus- > (Milbert) 
ehr System von Zahlen 
ohne K. 
haare 
II. Lehre vom er Die Lehre vom 
Inhalt hat dadurch einen besonderen Reiz, daß 
sie an der Grenze der elementaren Geometrie 
steht. Der Inhalt schon so einfacher Figuren wie 
des Kreises etwa oder von Pyramiden erfordert 
zu. seiner Bestimmung unendliche Prozesse (die 
auf Integration herauslaufen). Diese Probleme 
haben die feinsten Infinitesimalbetrachtungen der 
Antike, hauptsächlich von Euklid und Archı- 
medes veranlaßt. 
Es ist als eine merkwürdige Einzelerscheinung 
anzusehen, daß die Lehre vom Inhalt ebener Poly- 
sone ohne infinitesimale Betrachtungen möglich 
ist. Das hat schon im wesentlichen Huklid durch- 
seführt. Aber er benutzt hierbei das Postulat, 
daß der Inhalt Größeneigenschaft hat, was für 
Polygone aus den übrigen Axiomen (ohne Stetig- 
keitspostulat) bewiesen werden kann. Die Frage 
‘ist von vielen Mathematikern im 19. Jahrhundert 
behandelt, aber erst Hilbert hat sie vollständig 
zum Abschluß gebracht durch folgende Betrach- 
tungen: 1. Man kann für ein Polygon (durch Zer- 
legung in Dreiecke) ein. Inhaltmaß einführen 
und zeigen, daß die Summe der Inhaltmaße der 
Teile unabhängig von dar Zerlegung ist. (Zu die- 
sem Nachweis muß man die Proportionalsätze be- 
nutzen.) Daraus folgt sofort, daß man ein Poly- 
gon II, nicht so zerlegen kann, daß man aus sei- 
nen Teilen ein II: umschließendes Polygon II, zu- 
sammensetzen kann [,,das Ganze ist größer als sein 
Dieser Satz ist häufig als Postulat auf- 
gestellt worden. 
2. Umgekeh t: Ilabeı II, und II, gleich s In- 
haltmaß, dann kaın man zu II, u d II bezishungs- 
weise kongrueite Deirrcke 4)’, 29 . . .. resp. 
ET N hinz ıfüg :n, so daß die Gesamt: 
heiten (II,, Ay, Ay Pa ak} und (IL, Bes oe ee a) 
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