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in paarweise kongruente Stücke zerlegt werden 
können. (Der 
Euklids „Verwandlung“ des Dreiecks 
Rechteck.) II, und II, sind aber als inhalts- 
gleich zu bezeichnen, denn sie sind je als Diffe- 
renz zweier aus beziehungsweise kongruenten 
Teilen zusammengesetzter Polygone darstellbar.“ 
III. Begründung der Geometrie mit Zu- 
grundelegung der Gruppeneigenschaft der Bewe- 
gung*). Gibt man einmal als anschaulich be- 
gründet zu, daß die Punkte der Ebene durch eine 
zweifache Zahlenmannigfaltigkeit dargestellt wer- 
den können, wobei unendlich benachbarten Punk- 
ten Paare von unendlich wenig verschiedenen Ko- 
‚ordinaten entsprechen, dann ist die gruppentheo- 
retische Begründung der Geometrie sehr nahe- 
liegend und:-führt zu außerordentlich einfachen 
Resultaten. Sie ist besonders von S. Lie ausführ- 
lich behandelt worden. Während aber Lie von der 
Gruppe der Bewegungen eine Menge Eigenschaften 
voraussetzt (z. B. Differenzierbarkeit der sie dar- 
stellenden Funktionen, Parameteranzahl usw.), die 
mit der Anschauung wenig Verbindung haben, ist 
es Hilbert durch eine schwierige Untersuchung 
gelungen, folgende einfachen Eigenschaften als 
genügend zur Charakterisierung der (Euklidischen 
und Nichteuklidischen) ebenen Bewegungen nach- 
zuweisen: Die Bewegungen sind stetige, ein-ein- 
deutige Transformationen der Ebene, die den Um- 
laufssinn der Kurven nicht ändern, sie bilden eine 
„abgeschlossene“ Gruppe, und es gibt unendlich 
viele Bewegungen, die einen Punkt ungeändert 
lassen. 
[Die Eigenschaft 
ten: Die Grenze einer konvergenten Folge von Be- 
wegungen ist wieder eine Bewegung, oder aus- 
führlich: „Wenn es Bewegungen gibt, durch 
welche Punktetripel in beliebiger Nähe des 
Punktetripels ABC in beliebige Nahe des Punkte- 
.tripels A’B’C’ übergeführt werden können, so gibt 
es stets auch eine solche Bewegung, durch welche 
- das Tripel ABC genau in A’B’C’ übergeht.“] 
Es wird also nicht nur nicht etwa die Diffe- 
renzierbarkeit der die Bewegung darstellenden 
Funktionen vorausgesetzt, sondern nicht einmal‘ 
gefordert, daß die Bewegungsgruppe transitiv ist, 
d. is; daß jeder Punkt in jeden andern durch 
eine Bewegung übergeführt werden kann, oder 
daß eine Bewegung, die zwei Punkte ungeändert 
läßt, alle Punkte ungeändert läßt. Es ist wirklich 
erstaunlich und, wie mir scheint, ganz abgesehen 
von der Fragestellung in den Grundlagen der 
Geometrie, von großem Interesse für die Theorie 
~ der stetigen Transformationen, daß diese beschei- 
denen Voraussetzungen bereits die ebenen Be- 
wegungen unter den allgemeinen ebenen Trans- 
 formationen charakterisieren. Es ist klar, daß 
1) Eine Menge von verknüpfbaren Operationen 
heißt eine Gruppe, wenn diese Verknüpfung alle Ge- 
setze etwa der gewöhnlichen Multiplikation befriedigt, 
Beer: der Vertauschbarkeit der Faktoren. _ 
Nachweis folgt unmittelbar aus 
in ein 
. den! Methoden der modernen Theorie der steti 
. gungen die Euklidische Geometrie, 
‘dieses Gebiet, das eine höhere Stufe der Gruppe! 
„abgeschlossen“ soll bedeu- - 
„stellung. 










Shee dee era. Hierbei maß man, ee 
Hilbert, den ausgiebigsten Gebrauch machen von 




































Funktionen. - 
IV. Eine sehr nee Due 
macht Hilbert über die Stellung der Spiegelungen 
gegenüber den eigentlichen Beweguigsn- i 
Ebene in sich. Es zeigt sich: 
1. Unter Voraussetzung der Stehakett folgt. 
aus der Existenz der eigentlichen ebenen Bewe- 
insbeso e 
also auch die Möglichkeit der Spiegelung. 
2. Es gibt aber unstetige ebene Geome 
in denen zwar die eigentlichen Bewegungen 5: 
Ebene, aber keine Spiegelungen möglich sind. 
Diese Geometrie wird wieder durch ein besondere 
Nicht-Archimedisches (und ‚Nicht-Paseplsche 
Zahlensystem konstruiert. 
Es eröffnet sich hier der Blick a ein seh 
weites, noch vollständig unerforschtes Gebiet 
systematische Untersuchung - der allgemein 
Zahlensysteme, in denen die Multiplikation nie 
kommutativ ist. Es hat den Anschein, als wen 
de darstellt, ee = sowohl an ae 
Im Ei haben wir versuch, 
oars en ate ARO ae 
len, 
hier dnebictet: oad leicht noch ee i 
vermehrt werden können, gibt es etwas, wo 
Und sicher ist die glänzende Form 
wissenschaftlicher Ideen eine Leistung, so wert- 
voll wie die der ersten Auffindung und von : 
stärkstem Einfluß auf die geschichtliche 
wicklung. Die Werke von Bolya 
tschefsky, sowie von Pasch mit re unse 
baren mathematischen Inhalt haben auf die br 
Masse der Interessenten nur wenig Eindrue 
macht. Aber der Hilbert eigentümliche Geist 
gerade in den geometrischen Arbeiten so 
spürbar ist, logische Kraft verbunden mit starken 
Temperament, übliche Formen. mißachtend, 
historisch, das Wesentliche mit gleichsam R 
tischem Vergnügen an Antithese formen 
mit nie trügender Sicherheit höchst wirkenc 
stellend, die Freiheit des mathematischen 
rene radikal, ausnutzend, das Be En 
gegeben, hat eine ee in han 
herbeigeführt, die mit den großen Umwi 
in der Geschichte der Mathematik i 
glichen werden kann. 

