







Hanse 


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— Hamilton-Jacobischen Theorie schlagende For- 
mulierungen finden, welche die vielfachen schein- 
bar vereinzelt und zusammenhanglos nebenein- 
anderstehenden Tatsachen mit einem Griff zu- 
sammenfassen und in ein gemeinsames Licht stel- 
len, so daß nunmehr der Weg für weitgehende 
Verallgemeinerungen frei wird, oder mag er 
schließlich, wie in den Arbeiten über das absolute 
Minimum der wissenschaftlichen Fragestellung 
eine ganz neuartige und höchst fruchtbare Wen- 
dung geben — stets ist mit dem Ergebnis der 
Arbeit zugleich etwas für die Einfachheit und 
Einheit der mathematischen Wissenschaft über- 
haupt gewonnen. Unter allen hierhergehörigen 
Hilbertschen Abhandlungen hat wohl die über das 
„Dirichletsche Prinzip“ den größten Einfluß aus- 
geübt und ist für. die Hilbertsche Denkart am 
meisten charakteristisch. 
Um diese Leistung dem Verständnis näher 
zu bringen, ist es nötig, mit einigen Worten auf 
den Entwicklungsgang unserer Wissenschaft in 
der neueren Zeit einzugehen. Mit der Ausbildung 
der Differential- und’ Integralreehnung im 17. 
Jahrhundert setzte eine glänzende Epoche mathe- 
matischen Lebens ein; in raschem Fluß bis tief 
hinein ins 19. Jahrhundert folgten sich die wich- 
tigsten Entdeckungen: ein gigantischer, fast un- 
übersehbarer Wissensstoff türmte- sich zu einem 
Gebirge, das auch heute noch keineswegs einge- 
ebnet ist. Aber bei dieser stürmischen Entwick- 
lung gingen die Maßstäbe mathematischer Strenge 
und Klarheit vielfach verloren, welche von den 
Griechen überkommen waren. Die ‚höhere Ma- 
thematik“ wurde wirklich eine Art Geheim- 
wissenschaft, wo man sich auf einen guten wissen- 
schaftlichen Instinkt ebenso verlassen mußte wie 
auf klar präzisierbare Einsicht, wenn man bei der 
Handhabung der neuen Methoden nicht vom rich- 
tigen Wege abirren wollte. | .,Allez en avant, et 
la foi vous viendra“, dieses Motto ist recht be- 
zeichnend für den unkritischen Geist dieser, wie 
eine Naturkraft hervorbrechenden, mathemati- 
schen Produktivität. Die Reaktion in Gestalt 
kritischer Selbstbesinnung konnte nicht ausblei- 
ben; ein großer Teil der mathematischen Arbeit 
im 19. Jahrhundert ist der Aufgabe gewidmet, 
für das früher Geschaffene die tragfähigen Fun- 
damente zu finden und die Mathematik wieder zu 
derselben Höhe von Strenge und Sicherheit zu 
führen, die sie im Altertum erreicht hatte. Eine 
der ersten charakteristischen Leistungen in dieser 
Hinsicht war die Doktordissertation . von Carl 
Friedrich Gauß, dem princeps mathematicorum, 
wie man später mit vollem Recht diesen gewal- 
tigen Geist genannt hat. In dieser Arbeit wird 
zum ersten Male in bewußter strenger Form ein 
Existenzbeweis geführt, und zwar der Beweis des 
Satzes, daß jede algebraische Gleichung nten Gra- 
des auch wirklich n Wurzeln besitzt. Während 
man sich früher einfach naiv das Problem stellte, 
„die“ Wurzeln einer Gleichung zu finden, wird 
‚hier sachgemäß. die Vorfrage aufgeworfen und in 
Courant: ‘Hilbert als Analytiker. — 



































































* Inissenschafte 
positivem Sinne entschieden, ob überhaupt eine 
Lösung des Problemes notwendig existieren muß. 
Von da ab sind zahlreiche mathematische Unter- 
suchungen solchen Existenzbeweisen gewidmet; 
das geheimnisvolle Wörtchen ‚es gibt“ spielt in 
der Mathematik des 19. Jahrhunderts eine große — 
Rolle (eine Rolle übrigens, welche ihrerseits auch 
wieder neue kritische Betrachtungen herausgefor- — 
dert hat). Das mathematische Bedürfnis, solche — 
Existenzbeweise für die Lösungen zu finden, 
dehnt sich auch auf solche Probleme aus, welche 
aus der Physik.oder Mechanik entspringen. 
Hier ist es nötig, etwas‘ über die Einwendun- 
gen zu sagen, welche von physikalischer Seite ge- 
legentlich gegen die mathematischen Existenzbe- 
weise als etwas Überflüssiges und Wertloses er- 
hoben worden sind; unter bestimmten physikali~ . 
schen Bedingungen — so argumentiert man — 
muß ein physikalischer Vorgang in ganz bestimm- 
ter Weise ablaufen, und daher müssen die ent- 
sprechenden mathematischen Probleme, mögen sie 
sich auf Differentialgleichungen beziehen oder 
sonstwie geartet sein, notwendig eine bestimmte 4 
Lösung besitzen, fiir die einen darüber hinaus- ~ 
gehenden mathematischen Existenzbeweis zu 
führen, mehr oder weniger Spitzfindigkeit sei. 
Dieses Argument scheint mir am Ziele völlig vor- 
bei zu gehen. ‘Abgesehen davon, daß mathema- — 
tische Theorien ihre Wahrheit in sich tragen — 
miissen und sie nicht aus den Gesetzen der phy- 
sikalischen Natur entlehnen können, ist gerade 
die Führung des mathematischen  Existenz-— 
beweises auch von prinzipiellem Interesse fiir “die 
Frage der-mathematischen Darstellung physikali- 
scher Phänomene; gewiß kann deren Existenz und 
Realität nicht durch mathematische Betrachtun- 
gen bewiesen werden (gegen eine solche Behaup- 
tung würde sich der Physiker mit Recht wenden), 
wohl aber bestätigt der mathematische Existenz- : 
beweis, daß der mathematische Ansatz dem wirk- — 
lichen realen Vorgang adäquat ist; und schließ- — 
lich ist vom Standpunkt der Praxis noch zu sagen, 
daß in vielen Fällen der Existenzbeweis zugleich 
auch ein Mittel liefert, um die Lösung in’ prak- 
tisch brauchbarer Form wirklich herzistelle Age 
Wie dem auch sei, unter den mathematischen 
Existenzbeweisen, welche fiir die Entwicklung der 
Mathematik im 19. Jahrhundert von Bedeutung _ 
sind, spielen gerade diejenigen eine hervorragende 
Rolle, die sich im Anschluß an physikalische Vor- — 
stellungen auf Betrachtungen der Variationsrech- — 
nung stützen.‘ Insbesondere gilt dies für den — 
grandiosen funktionentheoretischen ee 
kreis, welcher um die Mitte des Jahrhunderts von _ 
Bernhard Riemann, dem unverg gleichlich tiefsinni- — 
gen Forscher, geschaffen wurde. Der ‚gewaltige | 
Bau seiner Theorie der „Abelschen Funktionen“ 
ruht auf solehen Existenzbeweisen, die mit Gee 
danken der Variationsreehnung arbeiten. Worum 
es sich dabei handelt, läßt sich im Anschluß an die 
physikalisehe Vorstellung etwa so verständlich 
machen: Man denke sich irgendeine Fläche im — 
