








me, möge sie nun das Aussehen einer Kugel 
eines Ellipsoides, oder z. B. einer diesen 
innerlich ganz wesensfremden Ring- 
2 wir in zwei ee ER Punkte den Ati en 
und negativen Pol einer elektrischen Stromquelle 
sche Anschauung, ein ganz bestimmtes statio- 
äres Strömungsbild auf der Fläche das Ergebnis 
‘sein, im einzelnen noch abhängig von der Natur 
der Fläche, ihrer Berandung, der Lage der Pole 
usw. Gham analoge Probleme ergeben sich bei der 
- Warmeleitung, der Strömung von Flüssigkeiten 
- usw. Mathematisch gesprochen handelt es sich da- 
bei um gewisse, sogenannte Randwertprobleme 
- fiir partielle Differentialgleichungen, und zwar 
gerade um solche Probleme, wie sie sich aus der 
© Variationsrechnung ergeben; die entsprechenden 
_ Variationsprobleme verlangen nämlich in der 
Hauptsache, daß beim wirklichen Strömungsvor- 
gang die entwickelte Joulesche Wärme geringer 
wird als bei anderen denkbaren Strömungen. 
| Wenn man es als selbstverständlich hinnimmt, daß 
FE, eine solche Minimumforderung durch geeignete 
* Funktionen erfüllt werden kann, dann ist hier- 
| _ mit der Existenzbeweis für die Randwertaufgaben 
| _ der-Funktionentheorie ohne weiteres gegeben; 
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gee 
' Riemann verfuhr. so und gab dieser Schlußweise 
den historisch gewordenen Namen „Dirichletsches 
~ Prinzip“; sein ganzes stolzes und im höchsten 
- Sinne geniales Gebäude, vielleicht im 19. Jahr- 
- hundert. die großartigste Schöpfung mathema- 
tischer Spekulation, ruhte auf der vermeintlichen 
BR  Selbstverständlichkeit dieser Annahme. 
- Da kam die berühmte Kritik von Weierstraß, 
“dem Manne, der wie kein anderer als Exponent 
des kritischen Geistes in der Mathematik des 
9. Jahrhunderts gelten kann: Weierstraß wies 
arauf hin und zeigte an ganz einfachen Beispielen, 
‚daß ein Minimumproblem der Variationsrechnung 
überhaupt ‚unter Umständen keine Lösung zu 
haben braucht, daß also auch für die Riemann- 
schen Variationsprobleme die Existenz der Lösun- 
gen. keineswegs eine Selbstverstindlichkeit. war, 
sondern eines Beweises bedurfte. Weit und breit 
"in der mathematischen Rüstkammer war aber kein 
Mittel zu finden, das diesen fehlenden Existenz- 
eweis liefern konnte; das ganze stolze Riemann- 
che Gebäude stand plötzlich scheinbar ohne Fun- 
dament. - 
Ein solches fatales Beispiel eines sehr vernünf- 
ig anmutenden Variationsproblemes, welches 
keine Lösung besitzt, ist folgendes: Man soll zwei 
Punkte aches: “ ces Be EN Kurz Kurve 
. 















‚wie 
‚ihre 

SE ‘Hilbert als ya a a RE 85 
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‘ 
Les 
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Strecke AR heranbringen, und döch kann offen- 
bar diese Länge nicht genau gleich der Länge 
AB der kürzesten, geraden, Verbindung sein, 
sondern muß immer etwas größer bleiben, weil 
die Bedingung des Senkrechtstehens in A ver- 
bietet, daß die Verbindungslinie ganz in die 
Gerade AB hineinfallt. Das Minimumproblem 
hat also keine Lösung. Denn es gibt unter den 
zugelassenen Wegen keinen kürzesten, 
A B 
Kritik war, 
den Riemann- 
Die Folee der Weierstraßschen 
daß man ratlos und bedauernd 
schen Gedankeneängen den Rücken kehrte und 
erst auf außerordentlich mühsamen, ganz 
anderen - Wegen allmählich so weit kam, die 
wichtigsten Teile der Riemannschen Resultate 
doch zu sichern, wobei allerdings die wunderbare 
Architektonik des Baues sehr. gelitten hat. Nur 
wenige Mathematiker hegten die Hoffnung, daß 
vielleicht in späteren Zeiten einmal die Wieder- 
belebung der ursprünglichen Riemannschen Ideen 
gelingen würde, Aber wie, das blieb ein Rätsel. 
Es gehörte die ganze Unbefangenheit und Frei- 
heit von dem Druck der Tradition dazu, welche nur 
den wirklich großen Forschern eigen ist, um das 
scheinbar vollständig unzugängliche Problem der 
Rettung des Dirichletschen Prinzipes anzugreifen. 
Hilbert besaß den Mut, er versuchte es, und es 
gliickte. Ganz neuartige, viel bewunderte Über- 
legungen von höchstem Scharfsinn mußten an- 
gewandt werden, und mühsam mußte der Leser der 
Hilbertschen Arbeit um das Verständnis ringen, 
aber das große entscheidende Ziel war erreicht: 
es war für die Analysis ein neues Hilfsmittel ge- 
schaffen, welches- die Möglichkeit gab, aus dem 
Dirichletschen Prinzip eine wirkliche Beweis- 
methode zu gestalten. Von diesen Hilbertschen 
Untersuchungen sind viele andere Forscher an- 
geregt worden, und das Ergebnis aller dieser Be- 
strebungen ist, daß man heute die alten Riemann- 
schen Schlußweisen bei völliger Strenge mit einer 
Einfachheit und Durchsichtigkeit handhaben 
kann, welche der inneren Einfachheit des zu- 
erunde liegenden physikalischen - Bildes ent- 
spricht. 
Über die weiteren Fortschritte zu berichten, 
welehe die Hilbertschen Ideen im Gebiete der 
Variationsrechnung mit sich brachten, dazu fehlt 
hier der Raum. Wir müssen noch einen Blick 
auf ein anderes Arbeitsgebiet der Analysis wer- 
fen, dem Hilbert ein gut Teil seiner Kraft ge- 
widmet hat, die Theorie der Integralgleichunge 
Diese Theorie ist in ihrer jetzigen Form ein 
Kind des 20. Jahrhunderts. Der schwedische 

