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‚Mathematiker Ivar Fredholm entdeckte 
scharfem Blick, daß gewisse wichtige Funktional- 
gleichungen, die zur Bestimmung von Funktio- 
nen bei Problemen der mathematischen Physik 
dienen, eine Form besitzen, welche eine starke 
Analogie mit viel elementareren mathematischen 
Aufgaben, nämlich den Aufgaben aus der Lehre 
‘von den linearen Gleichungen, zeigt; diese Funk- 
tionalgleichungen, deren Form nachträglich in 
nuce schon bei zahlreichen früheren Unter- 
suchungen erkennbar wurde, erhielten später den 
Namen Integralgleichungen; Fredholm gab in 
seiner klassischen Arbeit eine sehr elegante Auf- 
losungstheorie, und die neuen Ansätze fesselten 
bald das Interesse vieler Mathematiker. Aber 
man kann wohl sagen, daß erst durch das Ein- 
greifen der Hilbertschen Untersuchungen die 
wahre Bedeutung der Integralgleichungstheorie 
herausgestellt worden ist; ihre mannigfachen Be- 
ziehungen zu den verschiedensten Gebieten der 
Mathematik, ihre vielseitige Anwendungsfähigkeit 
und die innere Harmonie und Einfachheit ihrer 
Struktur, ihre zusammenfassende Tendenz gegen- 
über zahlreichen Einzeluntersuchungen wurden 
den Fachgenossen erst richtig offenbar aus der 
Folge von großen Abhandlungen, welche Hilbert 
hintereinander seit dem Jahre 1904 veröffent- 
licht hat, und welche nun als Buch zusammen- 
gefaßt vorliegen. Wir wollen versuchen, die ge- 

zu schildern und damit einen Einblick in die er- 
staunliche Mannigfaltigkeit des Inhaltes zu geben. 
Die erste Abhandlung enthält zunächst eine neue 
Ableitung der allgemeinen Fredholmschen Theorie, 
welche den einfachen Grundgedanken - dieser 
Theorie bloßlegt; aber schon hier geht Hilbert 
einen entscheidenden Schritt weiter, indem er 
die tiefe innere Verwandtschaft des Integral- 
gleichungsproblems mit dem elementaren Problem 
bekannten konsequent verfolgt. Ererkennt die be- 
sonders wichtige Sonderstellung, welche vor allem 
eine bestimmte Klasse von Integralgleichungen, 
die sogenannten symmetrischen Integralgleichun- 
chungssystem steht nämlich in engster Beziehung 
“zur geometrischen Theorie der Flächen zweiter 
Ordnung (der Ellipsoide usw.), wobei man natür- 
lich bein größerer Variabelnzahl in einen „Raum 
von mehr Dimensionen“ hineinsteigen muß. Ge- 
nau so, wie es nun bei diesen Flächen zweiter 
Ordnung Hauptachsen oder Fundamentalrichtun- 
gen gibt, erhält man bei den symmetrischen 
Integralgleichungen entsprechende Lösungsfunk- 
tionen, Fundamentallösungen oder Eigenfunktio- 
nen genannt, welche im allgemeinen in unend- 
~licher Anzahl vorhanden sind und sofort einen 
Platz im Brennpunkt des Interesses einnehmen. 
Es zeigt sich nämlich, 
 Eigenfunktionen in wnmittelbarem Zusammen- 
hange steht mit der physikalischen Theorie der 
Eigenschwingungen. Jedes 


ee 
dankliche Tendenz dieser Arbeiten etwas näher 
der Ablösung von n linearen Gleichungen mit n Un-. 
gen, einnimmt; ein symmetrisches lineares Glei- 
a 
daß diese Theorie der. 
schwingungsfähige 
- Gebiet der 
‚gehende mathematische Resultate erzielen, als da 





























grade des Systems endlich Be “onsale 
so z. B. kann eine Saite 2 unendliche, als = 
er re etwa an die Heimhelie Theos 
der Klangfarbe.) Das Gebiet der ~ har 
monischen Analyse ist nichts als eine Au = 
rung dieses Gedankens. Mathematisch gesprochen 
handelt’ es sich um die Entwicklung willkürliche 
Funktionen in unendliche nach Sinusfunktionen 
fortschreitende Reihen, sogenannte Fouriersche 
Reihen. Jedes andere Schwingungsproblem 
z. B. das der schwingenden Membran oder Platte 
führt auf andere solche Eigenfunktionensystem 
und entsprechende Reihenentwicklungen. D 
Theorie der symmetrischen Integralgleichung 
faßt nun alle diese bisher getrennt nebeneinan 
stehenden Dinge unter einem einheitlichen 
sichtspunkt zusammen; sie lehrt, wie man 
kürliche Funktionen nach den Eigenfunktionen | 
einer symmetrischen Integralgleichung entwickel 
kann, und da sich andererseits alle die genannt 
Schwingungsprobleme als Integralgleich 
probleme umschreiben lassen, so hatte man hier 
einen einheitlichen Zugang zu diesem wich gen 
Reihenentwicklungen gefunden nd 
konnte auf dem betretenen Wege viel w 




vorher gelungen war. Zahlreiche frühere Unte 
suchungen über diese Fragen — ich nenne hie 
nur die treffend erschauten, aber mathematisch 
nicht genügend begründeten Gedankenbildung 
von Lord Rayleigh in seiner ie 
sound“ erhielten so eine se 
Basis. Diesen Untersuchungen ist ein große: 
Teil der zweiten _Hilbertschen Abhandiu 

gen der mathematischen Fhysik. Auch di 
mit dem vorgenannten :in engem Zusammenh 
stehenäe Gebiet - ake bier entscheidende 
ii = 

uns dr dritte AphaidlGnp: hier fo ein ee 
ordentlich schwieriges, bis dahin ganz unzug 
liehes eee ee aus Her funktione 
