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‘Von der größten ee iinipselien ung ist 
ein allgemeiner Gedanke, der sich bei Hil- 
_ aus der Integralgleichungstheorie heraus- 
t; das ist die Idee der Lehre von Funktionen 
dlich vieler Veränderlicher. Man kann die 
nalogie der Integralgleichung mit einem ge- 
Shnlichen linearen Gleichungssystem am ein- 
: chsten dadurch kennzeichnen, daß man an Stelle 
eines Gleichungssystems mit 100 oder 1000 oder 
m Unbekannten durch einen kühnen Grenziiber- 
ng ein solches von unendlich vielen Gleichun- 
en mit unendlich vielen Unbekannten setzt. 
nter einer solchen Theorie unendlicher Glei- 
ungssysteme stecken, läßt sich dem Außen- 
ehenden nicht so leicht begreiflich machen; 
mug, daß es Hilbert gelang, diese Schwierig- 
keiten zu überwinden und eine Theorie der un- 
endlichen linearen Gleichungssysteme sowie der 
quadratischen Funktionen von unendlich vielen 
ränderlichen. Größen zu schaffen, welche an 
fachheit und Durchsichtigkeit der Ergebnisse 
nachsteht. Aus dieser allgemeinen Theorie er- 
a ben sich dann die Sätze über Integralgleichun- 
gen und die Methoden ihrer Behandlung als fast 
bstverständliche Forderungen. Aber dies» 
uen Gedanken weisen über das hiermit er- 
reichte Ziel hinaus. Schon bei der Lehre von den 
quadratischen ‘Funktionen von unendlich vielea 
-Variabeln ergeben sich, wenn man die Voraus- 
tzungen ‘nicht zu eng faBt und den Dingen tiefer 
f den Grund geht, Resultate von ganz neu- 
-artigem Charakter, wie sie bei der gewöhnlichen 
_ Theorie und ihrem geometrischen Bilde, der 
Lehre von den Flächen zweiter Ordnung im 
Raume, keineswegs auftreten; neue Ergebnisse, 
Ww Eiche: auch zu alten, schwer Fi cnaatiahen Theo- 
rien, z. B. der berühmten Kettenbruchtheorie des 
holländischen Mathematikers Stieltjes in engem 
ısammenhange stehen und diese Dinge neu b2- 
leu shten. Aber wir erheben uns erst dann zu der 
g zen Hohe der prinzipiellen Auffassung vom 
Wesen der großen Fragen aus der mathematischen 
lysis, wenn wir der allgemeinen Hilbertschen 
ee von den Funktionen unendlich vieler Varia- 
ler folgen. Für den Physiker scheint diese 
etwas durchaus nicht Fernliegendes zu sein. 
st es als eine Selbstverständlichkeit bewußt, 
28 es neben den Systemen von endlich 
elen Freiheitsgraden viele physikalische 
teme gibt, welche nicht endlich viele 
eiheitsgrade besitzen, d. h. deren Lage 
einem Zeitmoment sich nicht durch 
abe einer bestimmten Anzahl von Größen, 
: Koordinaten“ oder unabhängigen Variabeln 
; Systems charakterisieren läßt, sondern weiter- 
hende Pen erfordert; ‚so z. Be ist die 


elche großen mathematischen Schwierigkeiten | 
und Methoden den elementaren Theorien nicht: 
der Richtungen seiner Tragheitsachsen’ festgelegt, 
also durch endlich viele Koordinaten, während die 
Lage einer schwingenden Membran oder Saite 
nie durch endlich viele Zahlen eindeutig charak- 
terisiert werden kann, sondern stets’ erst durch 
den Verlauf einer ganzen, von ihr eingenommenen 
Fläche oder Linie, also einer Funktion bestimmt 
ist. Wir haben es hier eben mit Systemen von 
unendlich vielen Freiheitsgraden zu tun. In der 
Tat kann man den Verlauf einer Funktion, 
gleichviel ob diese nun durch eine Kurve oder 
Fläche repräsentiert wird, durch Angabe einer 
unendlichen Folge von „Koordinaten“ festlegen, 
etwa indem man die Funktion in Fouriersche 
Reihen oder verwandte Reihen entwickelt denkt 
und dann die Koeffizienten der Entwicklung als 
die unabhängigen Bestimmungsstücke ansieht. 
Die Energie und alle sonst mit dem System zu- 
sammenhängenden physikalischen Größen er- 
scheinen dann als Funktionen dieser unendlich 
vielen Bestimmungsstücke, d. h. eben als Funk- 
tionen von unendlich vielen Variabeln. Mathe- 
matisch stoßen wir ebenfalls auf Schritt und Tritt 
in der Analysis auf diesen Begriff. 
eine Größe von dem Verlauf einer Funktion ab- 
hängt, wie die Länge einer Kurve vom Verlaufe 
der Kurve oder die Höhe des Schwerpunktes 
einer Fläche vom Verlaufe dieser Fläche, z. B.. 
überall in der Variationsrechnung, aber auch 
sonst in der Theorie der Differentialgleichungen,. 
in der ganzen mathematischen Physik usw. haben 
wir es mit Funktionen von unendlich vielen Va- 
riabeln zu tun, oder wie Volterra, der bedeutends 
italienische, sich in ähnlichen Gedankengängen 
bewegende Mathematiker, sie nennt, mit „Linien- 
funktionen“; die meisten Theorien der mathema- 
tischen Analysis sind nichts als Spezialunter- 
suchungen über solehe Funktionen von unendlich 
vielen Veränderlichen. 
Lassen sich nun alle diese Spezialunter- 
suchungen in einer einheitlichen Theorie der 
Funktionen unendlich vieler Variabler zusammen- 
fassen? Im Falle der Integralgleichungen hat 
sich der Gedanke aufs beste bewährt: aber ist das 
allgemeine Ziel nicht allzuweit, allzuumfassend 
gesteckt, um auch nur einige Aussicht auf Erfolg 
zu bieten? Die Frage scheint nicht richtig gestellt. 
Zwar ist es wunderbar genug, daß in der allge- 
meinen Theorie der Funktionen unendlich vieler 
Veränderlicher, wie Hilbert in einer Arbeit ge- 
zeigt hat, sich überhaupt mathematische Sätze 
aussprechen und beweisen lassen, welche nicht 
trivial sind; aber für den Moment liegt hierin 
nicht das Schwergewicht der allgemeinen. Auf- 
fassung; ausschlaggebend bleibt vor allem die 
ordnende und klärende Wirkung, welche von der 
Idee einer solchen allgemeinen Funktionentheorie 
auf die ganze Methodik und Ideenbildung analy- 
tischer Untersuchungen ausstrahlt; mit einem 
Kantischen Ausdruck möchte man sagen, daß. 
vorläufig die Theorie der unendlich vielen Ver- . 
änderlichen kein konstitutives, sondern ein regu- - 
Überall, wo- 
