

eit der Physiker sich Teiahten lung. auf Beute 
- lüstern, kühn hinwegsetzt. Heute erscheinen 
= B. sämtliche Schwingungsprobleme der Mecha- 
nik und Physik als Übertragungen der Theorie 
von den Hauptachsen eines Ellipsoides auf den 
Fall des „Raumes von unendlich vielen Dimen- 
sionen“, d. h. der Mannigfaltigkeit aller Funk- 

Koeffizienten (wie Potenzreihen, Fourierreihen 
- usw.) entwickeln lassen. 
Wurde so eine große Übersicht, Strenge und 
_ Klarheit gewonnen, so hatte der rechnende Phy- 
- siker doch durch Benutzung der Integral- 
| gleiehungen nur selten Vorteil; meist erwiesen 
sich für praktische Rechnung die alten Diffe- 
rentialgleichungsmethoden als bequemer, und in 
neuerer Zeit ist es auch Courant gelungen, die 
allgemeinen Existenz- und Konvergenzsätze mit 
den Methoden der Variationsrechnung und der 
Differentialgleichungen in sehr durchsichtiger 
. Weise direkt zu begründen. Geht man auf den 
physikalischen Ursprung der mathematischen 
Gleichungen zurück, so findet man als primären 
Ausdruck der Erfahrungstatsachen und MHy- 
pothesen manchmal die  Integralgleichung, 
manchmal die Differentialgleichung; in der 
Lehre vom elektrischen Gleichgewicht z. B. 
führt die Annahme von Kräften, die nach 
dem Coulombschen Gesetze in "die Ferne 
"wirken, direkt zu einer Integralgleichung für die 
Dichte der Ladungsverteilung, dagegen liefern 
jene Theorien, bei denen die Wirkung sich von 
Stelle zu Stelle fortpflanzt und die seit Faraday 
und Maxwell die Lehre vom elektromagnetischen 
Felde beherrschen, primär eine partielle Diffe- 
| rentialgleichung (Poissonsche Gleichung). Ma- 
thematisch sind beide Ansätze äquivalent, sofern 
die Differentialgleichung mit den richtigen An- 
| fangs- und Grenzbedingungen versehen wird. 
| Aber es gibt auch Gebiete der Physik, wo keine 
Wahl ist, sondern wo die geltenden physikali- 
schen Begriffe eindeutig auf eine Integral- 
gleichung als Ausdruck der Tatsachen fiihren. 
Hilbert fand ein solehes Gebiet zuerst in der 
kinetischen Gastheorie, und er hat die Sammlung 
seiner Abhandlungen über Integralgleichungen 
HB. G. Teubner, 1912) mit der Darstellung dieser 
"Theorie iddath lotsont offensichtlich hoch er- 
















jalytischen Hilfsmittels, die sich hier bei der 
ufklaérung eines in seiner logischen Struktur 
s dahin recht dunklen Teils der Molekular- 
bewährte. 
Hf axwell und Boltzmann haben die Hypothesen 
ne: einzige hang ahöngelsßt; Es seien 
y, 2 die Köcrdinsien und.&, 4, & die Geschwin- 
gkeitskomponenten — einer Molekel; die Anzahl 
ler Molekeln, die in einem Voldmenelement 
und einem Geschwindigkeitsbereich 
Born Hilbert ride | die Physik. 
tionen, die sich in Reihen mit abzählbar vielen 
freut über die Macht des von ihm geschaffenen. 





















dod rat pes sei Fdxdydzdnd&, wo die 
„Verteilungsfunktion“ F außer von z, y, z, §, 1, % 
noch von der Zeit ¢ abhängen wird. Ist F be- 
kannt, so kann man alle beobachtbaren Größen 
durch Mittelwertbildung berechnen, z. B. die 
sichtbare, BET Geschwindigkeit als 

rn 
Zur Bestimmung von F muß man bedenken, daß 
die totale zeitliche Änderung von F unter der 
Wirkung einer beschleunigenden Kraft mit den 
Komponenten > FR: 
OF OF ok 


XP) = tet RL 
am X ORY 0027 
Teen Baan (eee 
durch die Zusammenstöße erzeugt wird, die einige 
Molekeln aus einem betrachteten Gebiete her- 
auswerfen, während dafür andere hineingelan- 
gen. Unter der Annahme vollkommen ungeord- 
neter Molekularbewegung ist die resultierende 
Änderung von F ein Integral J (F), dessen In- 
tegrand quadratisch von F abhängt; daher er- 
gibt sich eine Integro-Differentialgleichung: 
D(F) = J(F) 
die die exakte Grundlage aller gaskinetischen 
Folgerungen bildet. 
Solche Folgerungen sind von Maxwell, Boltz- 
mann und anderen gezogen worden, und es hat 
sich gezeigt, daß man die Gesetze der makrosko- 
pischen Bewegung und der thermischen Vor- 
gänge in Gasen qualitativ richtig erhält. Aber 
die Kette der mathematischen Schlüsse war nicht 
eindeutig und willkürfrei; man mußte an man- 
chen Stellen zu Mittelwertsbildungen die Zu- 
flucht nehmen, weil die strenge Rechnung nicht 
durehführbar erschien, und hierdurch kam eine 
Unsicherheit in die Berechnung der gastheore- 
tischen Konstanten (wie Wärmeleitunes- und 
Reibungskoeffizient), deren eindeutige Fest- 
legung gerade das Hauptziel der Theorie 
ist. Hier griff nun Hilbert ein. Er be- 
merkte, daß das von den Physikern bei der 
Lösung der Grundgleichung eingeschlagene 
Näherungsverfahren aufgefaßt werden kann als 
Reihenentwicklung nach Potenzen eines Para- 
meters, der der mittleren freien Weglänge der 
alten Theorie entspricht; dabei gibt die erste 
Näherung in bekannter Weise die Gesetze des 
ruhenden Gases, also vor allem für F das Max- 
wellsche Verteilungsgesetz, die höheren Näherun- 
gen aber werden lineare Integralgleichungen 
zweiter Art mit symmetrischem Kern. Auf diese 
läßt sieh nun die allgemeine Theorie der Inte- 
eralgleichungen anwenden und liefert zwangs- 
läufig und ohne Willkür nicht nur die mecha- 
nischen und thermischen Gesetze der Gase, son- 
dern auch eindeutige Rechenvorschriften, aus 
denen sich die Konstanten numerisch berechnen 
lassen, sobald die Gesetze der beim Zusammen- 
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