


lichen Analogie angewendet. 
Auch in der Arithmetik gelangte die For- 
schung zu einer wesentlichen Erweiterung ihrer 
Problemstellung. Einerseits wurden durch die 
Erfindung der. Mengenlehre die Begriffe der An- 
zahl und der Ordnung in einer ganz neuen Weise 
verallgemeinert und auf unendliche Gesamtheiten 
übertragen. Andrerseits führte die Entwicklung 
der Algebra dazu, daß man nicht mehr aus- 
schließlich die Zahlen und Größen als Objekte 
der Untersuchung ansah, vielmehr den rechneri- 
schen Formalismus selbst zum Gegenstande nahm 
und sich ganz allgemein die Betrachtung der For- 
malismen zur Aufgabe machte. 
die Größen erschienen jetzt nur noch als etwas 
Spezielles, und je mehr man ihre Gesetzlichkeit 
unter allgemeineren Gesichtspunkten betrachtete, 
um so mehr entwöhnte man sich, diese Gesetzlich- 
keit als selbstverständlich hinzunehmen. 
So ging denn die ganze 
Mathematik dahin, alles das, was vordem als ein- 
ziger Gegenstand der Forschung galt und wovon 
die Grundeigenschaften als etwas für die Mathe- 
matik hinzunehmendes und keiner mathemati- 
schen Untersuchung fähiges noch bedürftiges er- 
schließlichkeit und Endgültigkeit zu berauben. Der 
Rahmen, den die frühere philosophische Ansicht, 
und auch noch die Kantische Philosophie, für 
die Mathematik abgesteckt hatte, wurde ge- 
sprengt. Die Mathematik ließ sich nicht mehr die 
der Philosophie vorschreiben, sondern nahm die 
Erörterung ihrer methodischen Probleme selbst 
in die Hand. So wurden die Axiome der mathe- 






















Beziehungen hin untersucht, sowie auch die 
Und je weiter man diese Probleme verfolgt hat, 
um so mehr hat das mathematische Denken an 
ihnen seine Fruchtbarkeit gezeigt und sich als 
unentbehrliches Hilfsmittel für die theoretische 
Philosophie erwiesen. 
Zu dieser 
die Gegenwart reicht, hat in bedeutsamer Weise 
David. Hilbert beigetragen. Was er auf diesem 
Gebiete geleistet hat, soll im folgenden geschil- . 
dert werden. 
- Als Hilbert sich den Problemen zuwandte, 
welche es betreffs der Grundlagen des mathema- 
tischen Denkens zu lösen galt, hatte er nicht nur 
das -Rüstzeug seiner umfassenden Beherrschung 
der mathematischen Methoden 
sondern er war auch vor 
fiir diese Aufgaben. Denn für ihn hatte 
rebt ist, 
sie wurde hier nur noch im Sinne einer anschau- 
Die Zahlen sowie 
Entwicklung der 
achtet wurden, dieses seines Ansehens der Aus- — 
Methode und die Grenzen ihrer Forschung von — 
matischen Theorien des näheren auf ihrelogischen 
Schlußweisen einer genaueren Kritik unterzogen. 
Entwicklung nun, welche bis in 
“von einigen wenigen Grundsätzen ausg, 
deren Wahrheit man überzeugt ist 
zur Verfügung, — 
allem durch seine 
menschliche Veranlagung gleichsam vorbestimmt 
die 
PB ematik die en einer _Weltons chivas: 
a athena tieshon Denteat einen 

a sae 






















nis des Tatsächlichen in die Mathematik e 
beziehen, vielmehr war es zum Zwecke einer mö 
lichst weiten Ausdehnung des Herrschaftsge 
der Mathematik erforderlich, eine scharfe- 
scheidung zwischen Mathematischem un 
mathematischem vorzunehmen, welche es er 
als mathematischen rei ‚Im - Erke 
das Pioblen: angetan 
Werk auf dem Gebiet der ee „ce 
die im Jahre 1899 erschienenen „Grundlag bi er 
Geometrie“. In dieser Schrift atolles Hilbert eir 
neues System von Axiomen fiir die Geometr 
heit und dee ies Vollständigkeit, 
untersuchte nun genauer den Anteil, vee 
“schiedenen Axiomgruppen (sowie auch e nzelne 
der Axiome) an dem logischen Aufbau ‚der Geo 
metrie haben. _ =: 
Diese Untersuchung had durch die F 
neuen, fruchtbaren Methoden und Gesich 
ten, welche sie darbot, einen mächtige 2 
oy die Se der Seles 
vielmehr diesem Werk seine we. ver lie! 
und den Namen Hilberts weit über den Kre 
seiner Fachgenossen hinaus berühmt mach 
seed die neue methodische ee wele 








Definitionen acht zu entwiekeit, Su ht 
‘nach der geläufigen ‚Auffassung darin, : 

allem- ae den ee Be 
gerichtet. Ja, ursprünglich ließ man als 
überhaupt nur solche Sätze gelten, dere 
heit a priori einleuchtete. 
der Ansicht, daß der Erfolg und die al 
kere der axiomatischen Methode in de 

