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E BWineebaften von Frkönal- 
a priori. (den Axiomen der reinen An- 
ung und den Grundsätzen des reinen Ver- 
des) ausgehen könne. 
llerdings hat man diese Forderung, daß ein 
s Axiom eine a priori erkennbare Wahrheit 
drücken müsse, bald preisgegeben. Denn bei 
n mannigfachen Anlässen, welche sich beson- 
in der Weiterentwicklung der Physik zur 
wendung der axiomatischen Methode boten, er- 
gab es sich sozusagen von selbst, daß man teils 
I Irfahrungssätze, teils auch bloße, Hypothesen als 
-Axiome physikalischer Theorien wählte. Dabei 
erwies sich das axiomatische Verfahren besonders 
den Fällen als fruchtbar, wo es gelang, durch 
e Aufstellung eines Axioms die Ergebnisse viel- 
fältiger Erfahrungen in einer Aussage von allge- 
meinem Charakter zusammenzufassen. Ein be- 
= riihmtes Beispiel hierfür bilden die beiden Sätze 
von der Unmöglichkeit eines perpetuum mobile 
ster und zweiter Art, welche Clausius in der 
pret der Wirme ais Axiome an die Spitze 
a 
Daa kam noch, daß der Glaube an die aprio- 
3 rische Erkenntnis der geometrischen Axiome bei 
m Forschern der exaktem Wissenschaften — 
vuptsachlich infolge der nicht-euklidischen Geo- 
etrie und unter dem Eindruck der Argumente 
-von Helmholtz — immer mehr verloren ging und 
so die empiristische Ansicht, nach welcher die 
osimetric nichts anderes ist als eine Erfahrungs- 
4 wissenschaft, immer mehr Anhänger fand. Jedoch 
‚änderte dieses Abgehen vom Apriorismus nicht 
wesentlich den Gesichtspunkt, unter dem man die 
‘axiomatische Methode betrachtete. 
~ ‘Kine stärkere Wandlung wurde aber durch 
die systematische Entfaltung der Geometrie be- 
"wirkt. Die mathematische Abstraktion hatte sich, 
‘yon der elementaren Geometrie ausgehend, weit 
über den Bereich der räumlichen Anschauung er- 
en und zur Bildung von umfassenden Lehr- 
äuden geführt, in welche die gewöhnliche 
lidische Geometrie sich einordnen ließ und 
erhalb deren ihre Gesetzlichkeit nur als eine 
nz spezielle neben anderen mathematisch gleich- 
Ne echtigten erschien. Hiermit eröffnete sich 
» neue Art von mathematischer Spekulation, 
t Hilfe deren man die geometrischen Axiome 
einem höheren Standpunkt betrachten 
rachtungsweise mit der Frage nach dem Er- 
ntnischarakter der Axiome — welche man 
ch vordem für das einzig Bedeutsame an der 
atischen Methode hielt — gar nichts zu 
ffen hatte. Und somit ergab sich die Not- 
ndigkeit einer reinlichen Scheidung zwischen 
mathematischen und den erkenntnistheoreti- 
hen Problemen der Axiomatik. Die Forderung 
er solehen Sonderung der Probleme hat Klein 
. seinem Erlanger Programm?) bereits in aller 


= Vergleichende a Beträchtungen über neue geo- 
1 
Es zeigte sich aber sogleich, daß diese: 
Met Hiderts für die ilosophie der Mathermätik. 95 
SRlerbeit Riideapfoctien: 
Nun war es das wesentliche an KHilberts 
Grundlegung der Geometrie, daß hier zum ersten- 
mal in der Aufstellung des Axiomensystems von 
vornherein die Sonderung des Mathematischen 
und Logischen von dem Räumlich-Anschaulichen 
— und damit von der erkenntnistheoretischen 
Grundlage der Geometrie — restlos durchgeführt 
und mit voller Schärfe zum Ausdruck gebracht 
wurde, 
Wohl spricht Hilbert in der Einleitung seines 
Buches den Gedanken aus, daß die Aufstellung 
der Axiome für die Geometrie und die Erfor- 
schung ihres Zusammenhanges eine Aufgabe sei, 
die „auf die logische Analyse unserer räumlichen 
Anschauung“ hinausläuft, und ebenso bemerkt er 
im ersten Paragraphen, daß jede einzelne 
der Axiomgruppen „gewisse zusammengehörige 
Grundtatsachen unserer Anschauung“ ausdrückt. 
Aber diese Äußerungen stehen ganz außerhalb des 
axıomatischen Aufbaues; dieser selbst vollzieht 
sich ohne jegliche Bezugnahme auf die räumliche 
Anschauung. 
Nun ist es freilich schon von jeher eine An- 
forderung an eine strenge axiomatische Begrün- 
dung der Geometrie gewesen, daß die Beweise sich 
ausschließlich an dasjenige halten sollen, was in 
den Axiomen formuliert wird, dagegen nicht auf 
sonstige Art die räumliche Anschauung heran- 
ziehen dürfen. Und in’'neuerer Zeit hat beson- 
ders Pasch bei seiner Grundlegung der Geome- 
trie?) auf die Durchführung dieser Forderung 
Gewicht gelegt und ihr auch vollkommen ent- 
sprochen. 
Die Hilbertsche Axiomatik geht aber in der 
Ausschaltung der räumlichen Anschauung noch 
einen Schritt weiter. Hier wird die Heranziehung 
der räumlichen Vorsteilung nicht nur bei den Be- 
weisen, sondern auch in den Axiomen und den 
Begriffsbildungen gänzlich vermieden. Die Worte 
„Punkt“, „Gerade“, „Ebene“ dienen nur als Na- 
men für drei verschiedene Arten von Gegenstän- 
den, über welehe unmittelbar nichts anderes vor- 
ausgesetzt wird, als daß die Gegenstände einer 
jeden Art ein fest bestimmtes System bilden. Alle 
weitere Charakterisierung erfolgt erst durch die 
Axiome. Desgleichen werden mit Ausdrücken 
wie „der Punkt A liegt auf der Geraden a“ oder 
„der Punkt A liegt zwischen B und O“ nicht die 
gewöhnlichen, anschaulichen Bedeutungen ver- 
bunden, vielmehr bezeichnen sie nur gewisse, zu- 
nächst unbestimmte Beziehungen, die dann erst 
durch die Axiome, in denen diese Ausdrücke vor- 
kommen, implicite charakterisiert werden.*) 
Zufolge dieser Auffassung sind die Axiome 
überhaupt keine Urteile, von denen man sagen 
kann, daß sie wahr oder falsch sind; nur in dem 

metrische Forschungen“, 1872. 
len, Bd. 43.) 
3) „Vorlesungen über neuere Geometrie“, 1882. 
4) Man spricht in diesem Sinne von „implieiter 
Definition“. 
(Mathematische Anna- 


