

“tische Gastheorie sowie 

Zusammenhange des ganzen Nise ee 
haben sie überhaupt einen Sinn. Und auch das 
Axiomensystem als Ganzes bildet nicht den Aus- 
spruch einer Wahrheit, vielmehr ist die logische 
Struktur der axiomatiscen Geometrie im Sinne 
Hilberts — ganz entsprechend derjenigen der ab- 
strakten Gruppentheorie — eine rein hypothe- 
tische: Wenn irgendwo in Wirklichkeit drei Sy- 
steme von Gegenständen vorliegen 
stimmte Beziehungen zwischen diesen Gegenstän- 
den, derart, daß für diese die Axiome der Geo- 
metrie zutreffen (d. h. daß bei geeigneter Zu- 
ordnung der Namen zu den Gegenständen und 
Beziehungen die Axiome in wahre Behauptungen 
übergehen), dann treffen für diese Gegenstände 
und Beziehungen auch alle Lehrsätze der Geo- 
metrie zu.. Das Axiomsystem selbst bringt also 
nicht eine Tatsächlichkeit zum Ausdruck, sondern 
es stellt nur eine mögliche Form eines Systems 
von Verknüpfungen dar, welches mathematisch 
nach seinen inneren Eigenschaften zu unter- 
suchen ist. 
Hiernach kommt die axiomatische Behandlung 
der Geometrie darauf hinaus, daß man von der 
‚Geometrie, so wie sie als Wissenschaft von den 
räumlichen Figuren vorliegt, den rein mathema-. 
tischen Bestandteil der Erkenntnis ablöst und für 
sich abgesondert untersucht. Die räumlichen Ver- 
hältnisse werden gleichsam “in die Sphäre des 
Mathematisch-Abstrakten projiziert, in welcher 
die Struktur ihres Zusammenhanges sich als ein 
Objekt. des rein mathematischen Denkens dar- 
stellt und einer Forschungsweise unterzogen wird, 
die nur auf die logischen Beziehungen gerichtet 
ist, unbekümmert um die Frage nach der sach- 
lichen Wahrheit, d. h. um die Frage, ob die durch 
die Axiome festgelegten geometrischen Ver- 
knüpfungen sich in der Wirklichkeit (oder auch 
nur in unserer räumlichen Anschauung) vor- 
finden. 
Diese Art der Deutung, welche die axioma- 
tische Methode in Hilberts Grundlagen der Geo- 
—metrie erfuhr, bot nun insbesondere den Vorteil, 
daß sie nicht auf die Geometrie beschränkt war, 
sondern sich ohne weiteres auf andere Diszipli- 
nen übertragen ließ. Den Gesichtspunkt der 
Gleichartigkeit der axiomatischen Methode in 
ihrer Anwendung auf die verschiedensten Gebiete 
hat Hilbert auch von vornherein ins Auge gefaßt, 
und von ihm geleitet suchte er diese Methode in 
möglichst weitem Umfange zur Geltung zu brin- 
So gelang es ihm insbesondere, die kine- 
die elementare Strah- 
lungstheorie in strenger Weise axiomatisch zu be- 
gründen. 
Auch schlossen sich der _axiomatischen: For- 
 schungsweise Hilberts viele Mathematiker an und 
"wirkten im Sinne seiner Bestrebungen. 
sondere war es ein Erfolg der Axiomatik, als 
* Zermelo im Gebiete der Mengenlehre die bis dahin 
‚bestehende Unsicherheit 
eine. geeignete 
gen, 
axiomatische Abgrenzung der 
sowie be- 
damit die Möglichkeit einer axtomietisched Grund. 
-innere Struktur hin betrachtet. 
mathematischen Untersuchung, welche eben die 
Role “als 
‚lichkeiten einer „Tieferlegung der Fundament 
Insbe- 
_ Begriffen bilden würden. 
des Schließens durch 






















lehre eT 
‘ Eine Zusammenfassung der methodischen Lele. 
gedanken und eine Übersicht über die rechne 
der axiomatischen Forschung hat Hilbert in 
seinem Züricher Vortrag über „Axiomatisches — 
Denken“. (1917)®) gegeben. Hier kennzeich 
er die axiomatische Methode als ein allgemeine 
Verfahren des wissenschaftlichen Denkens. Dieses 
Verfahren setzt auf allen den Wissensgebieten — 
ein, wo man bereits zur Aufstellung einer Theorie 

von Begriffen — gelangt ist. Es zeigt sich dann es 
jedesmal, daß zum logischen Aufbau der- Theorie 
einige wenige Sätze ausreichen, und man gewinnt 
legung der Theorie. Diese wird zunächst im 
Sinne der alten Axiomatik erfolgen; man kann 
dann aber stets — so wie in der Geometrie — 
zu dem Hilbertschen axiomatischen — Standpunkt 
übergehen, indem man von dem: Erkenntnis-Cha 
rakter der Axiome absieht und das ganze Fach 
werk der Begriffe nur (als eine mögliche Form 
eines Verknüpfungszusammenhanges) auf a 
Somit wird die Theorie zum Objekt einer re 
awiomatische pete Und zwar sind es bei ER 

Saree har Cantons einmal muß das Axiomen: 
system, damit es einen möglichen Verknüpfung 
zusammenhang darstellt, der Bedingung de: 
Widerspruchsfreiheit genügen, d. h. die in de 
Axiomen ausgedrückten Beziehungen müssen mit- 
einander logisch vereinbar sein. 
die Aufgabe eines Nachweises für die 
spruchsfreiheit des Axiomensystems — ein Pro- ER 
blem, welches die alte Auffassung der Axiomatik ER 
nicht kennt, weil hier ja jedes Wein als Aus 
spruch einer Wahrheit eilt. Sodann kommt es _ 
darauf an, einen Überblick über die logischen sf 
Athan phakeste zwischen den verschiedenen _ 
Sätzen der Theorie zu gewinnen, insbesondere | hat = 
man zu Beh op die Axiome voneipam 4 









a en sind. : Auen 
aber besteht noch die Aufgabe, nach den Mög- 

der Theorie zu forschen, d. h. zu prüfen, ob nicht 
die vorliegenden Axiome der Theorie sich auf 
Sätze von fundamentalerem Charakter zurück- 
führen lassen, welche dann „eine tiefere Sehicht 
von Axiomen“ für das betrachtete Fachwerk von 
5) „Untersuchungen über ‘die. Grundlagen * Bice 
Mengenlehre“, 1907. “(Mathematische Aalen, „Be. 65.) _ 
6) Mathematische Annalen, Bd. SER 

