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retischen Behandlung Hahte ist, und 
Ausführung ist für die Klarheit - der Er- 
onntnis und für die systematische Ubersicht yon 
omatik das "mathematische Denken eine uni- 
le Bedeutung für das wissenschaftliche Er- 
In der Tat kann Hilbert behaupten: 
was Gegenstand des wissenschaftlichen 
sn Methode und damit der Mathematik.“ 
it dieser umfassenden Ausgestaltung des 
atischen Gedankens war nun zwar ein hin- 
ich weiter Rahmen für die mathematische 
blemstellung gewonnen und die erkenntnis- 
th eoretische Fruchtbarkeit der Mathematik klar- 
elegt. Aber in Betreff der Sicherheit des mathe- 
schen Verfahrens blieb noch eine grundsätz- 
e Frage offen. 
Nämlich als das Erste und Wichtigste bei der 
natischen Untersuchung einer Theorie war ja 
\ufgabe ‚erkannt, die Widerspruchsfreiheit des 
omensystems zu beweisen. In der Tat bildet 
Widerspruchsfreiheit der Axiome die Lebens- 
age für eine jede axiomatische Theorie; denn 
n ihr hängt es ab, ob das Fachwerk der Be- 
ffe überhaupt einen Verknüpfungszusammen- 
g oder nur den Schein eines solchen darstellt. 
Wenn wir nun zusehen, wie es bei den ver- 
denen geometrischen und physikalischen 
rien, die eine axiomatische Begründung er- 
ren haben, mit dem Nachweis der Wider- 
uchsfreiheit bestellt ist, so finden wir, 
r überall nur in einem relativen Sinn 
cht ist: die Widerspruchsfreiheit des zu 
rsuchenden Axiomensystems wird bewiesen, 
em man ein System von Gegenständen 
von Beziehungen innerhalb der mathe- 
tischen Analysis aufweist, für welches die 
ome erfüllt sind. Diese „Methode der Zu- 
führung“ auf‘ die Analysis (d. h. auf die 
etik im weiteren Sinne). hat zur Voraus- 
die Analysis selbst ein widerspruchs- 
“System bildet, — sei es nun, daß sie als 
nbegriff von Erkenntnissen klar nur als ein 
natisches Gebäude (d. h. als ein bloß mög- 
stem von Verknüpfungen) anzusehen ist. 
be: aber ‚die pWiderepruchsfreiheit: der 
cht jenen ee des neittelbar 
wie er etwa den Schlüssen der 
ntheorie ‚eigen ist. Und -wenn 
ethoden von allem irgendwie 
freien. will, so ist man genö- 
daß 
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einen SRH Threr Widerspruchs- 
freiheit zu liefern. 
Das Erfordernis eines solchen Nachweises zur 
Sicherheit der axiomatischen Methode und der 
Mathematik überhaupt hat Hilbert von Anfang 
an erkannt und betont: Und wenngleich seine 
Bemühungen um dieses Problem noch nicht zu 
dem Endziel geführt haben, so ist es ihm doch 
geglückt, den methodischen Ansatz zu finden, 
durch welchen die Aufgabe mathematisch angreif- 
bar wird. | 
Die. Grundgedanken dieses Ansatzes wurden 
von Hilbert schon 1904 in seinem Heidelberger 
Vortrag „Über die Grundlagen der Logik und der 
Arithmetik“) dargelegt. Jedoch boten diese 
Ausführungen dem Verständnis große Schwierig- 
keiten und waren auch manchen Anfechtungen 
ausgesetzt. Seitdem hat Hilbert seinen Plan wei- 
ter verfolgt und seinen Ideen eine faßliche Form 
gegeben, die er kürzlich in einem Vortragszyklus 
in Hamburg zur Darstellung brachte. 
Der Gedankengang, auf welchem der Hilbert- 
sche Ansatz für die Grundlegung der Arithmetik 
und Analysis beruht, ist folgender: Die* metho- 
dischen Schwierigkeiten der Analysis, auf Grund 
deren man in dieser Wissenschaft genötigt ist, 
über den Rahmen des konkret Vorstellbaren hin- 
auszugehen, rühren davon her, daß die Stetigkeit 
und das Unendliche hier eine wesentliche Rolle 
spielen. Dieser Umstand würde auch für den 
Nachweis der Widerspruchsfreiheit der Analysis 
ein unüberwindliches Hindernis bilden, wenn 
dieser Nachweis in dem Sinne geführt werden 
müßte, daß man zeigt: ein System von Dingen 
wie es die Analysis annimmt — etwa das System 
aller endlichen oder unendlichen Mengen von 
ganzen Zahlen — ist logisch möglich. 
Nun braucht aber die Behauptung der Wider- 
spruchsfreiheit gar nicht in diesem Sinne be- 
wiesen zu werden, vielmehr kann man ihr auch 
“folgende ganz andere Wendung geben: die 
Sehlußweisen der Analysis können miemals zu 
einem Widerspruch führen — oder, was auf das- 
selbe hinauskommt: es ist unmöglich, aus den 
Axiomen der Analysis und mit Hilfe ihrer Metho- 
den des Schließens die Beziehung 1#1 (,,1 ist 
ungleich 1“) abzuleiten. Hier handelt es sich 
nicht um die Möglichkeit einer stetigen, unend- 
lichen Mannigfaltigkeit von gewissen Eigenschaf- 
ten, sondern um die Unmöglichkeit eines mathe- 
matischen Beweises mit bestimmten Eigenschaf- 
ten. Ein mathematischer Beweis ist aber, im 
Unterschied von einer stetigen, unendlichen 
Mannigfaltigkeit, ein konkretes, in allen Teilen 
iiberblickbares Objekt; er muß sich, wenigstens 
erundsätzlich, von Anfang bis Ende vollständige 
mitteilen lassen. Und auch die verlangte Be- 
schaffenheit des Beweises (daß er gemäß den 
Prinzipien der Analysis verläuft und zu dem 
Endergebnis 1 #1 führt) ist eine konkret fest- 
7) Anhang VII zu den „Grundlagen der Geometrie“, 
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